Límite de la función -x*exp(-x)

Tenemos la indeterminación de tipo

-oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x e^{- x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x\right)}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)