Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\tan{\left(2 x \right)} \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\tan{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{4 x + \pi}{4} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1}{-2 - \frac{2}{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1}{-2 - \frac{2}{\tan^{2}{\left(2 x \right)}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)