Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de tan(x)/x
-
Límite de sin(3*x)/x
- Límite de (-9+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (-16+x^2)/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- cot(pi*x/ dos)/log(- dos +x)
- cotangente de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por logaritmo de ( menos 2 más x)
- cotangente de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por logaritmo de ( menos dos más x)
- cot(pix/2)/log(-2+x)
- cotpix/2/log-2+x
- cot(pi*x dividir por 2) dividir por log(-2+x)
-
Expresiones semejantes
- cot(pi*x/2)/log(2+x)
- cot(pi*x/2)/log(-2-x)
-
Expresiones con funciones
- Cotangente cot
- cot(2*x)
- cot(2*x)/cot(8*x)
- cot(x)*log(x)*sin(x)
- cot(4*x)*tan(5*x)
- cot(x)^x-1/x^2
- Número Pi pi
- pi*x*xpi*sin(x)/3
- pi/2-x
- pi/sin(3*x)
- pi*sin(pi*x)
- pi/x^(5/7)
- Logaritmo log
- log(cos(x))/x
- log(x)/sqrt(x)
- log(1+x)/log(2+x)
- log(n)/log(1+n)
- log(x)/(cot(x)*log(10))
Límite de la función cot(pi*x/2)/log(-2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /pi*x\ \
| cot|----| |
| \ 2 / |
lim |-----------|
x->2+\log(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
Limit(cot((pi*x)/2)/log(-2 + x), x, 2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\log{\left(x - 2 \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x - 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{\left(\frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \left(- \frac{\pi^{2} x \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{2 \pi \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \left(- \frac{\pi^{2} x \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{2 \pi \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\log{\left(x - 2 \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x - 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{\left(\frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \left(- \frac{\pi^{2} x \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{2 \pi \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \left(- \frac{\pi^{2} x \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{\cot^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{\pi \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{2 \pi \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /pi*x\ \
| cot|----| |
| \ 2 / |
lim |-----------|
x->2+\log(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -19.1590106965115
/ /pi*x\ \
| cot|----| |
| \ 2 / |
lim |-----------|
x->2-\log(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
oo
$$\infty$$
= (13.7629696111669 + 8.61774619481251j)
= (13.7629696111669 + 8.61774619481251j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)} + i \pi} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)} + i \pi} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)} + i \pi} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{\log{\left(2 \right)} + i \pi} \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo