Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{\cosh{\left(x \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cosh{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cosh{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x}}{\cosh{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sqrt{x} \sinh{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \cosh{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sqrt{x} \sinh{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \cosh{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)