Sr Examen

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sin(8/9^(n+1))*cos(10/9^(n+1))

Suma de la serie sin(8/9^(n+1))*cos(10/9^(n+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                              
 ___                              
 \  `                             
  \      /   n + 1\    /    n + 1\
  /   sin\8/9     /*cos\10/9     /
 /__,                             
n = 1                             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 1} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 1} \right)}$$
Sum(sin((8/9)^(n + 1))*cos((10/9)^(n + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 1} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 1} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 1} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 1} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 1} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 1} \right)}}{\sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 2} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 2} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 1} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 1} \right)}}{\sin{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{n + 2} \right)} \cos{\left(\left(\frac{10}{9}\right)^{n + 2} \right)}}}\right|$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Gráfico
Suma de la serie sin(8/9^(n+1))*cos(10/9^(n+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie