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Suma de la serie/ arctg((x^2-1)/(sqrt(3)(x^2+1)))

Suma de la serie arctg((x^2-1)/(sqrt(3)(x^2+1)))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \        /     2        \
  \       |    x  - 1    |
   )  atan|--------------|
  /       |  ___ / 2    \|
 /        \\/ 3 *\x  + 1//
/___,                     
n = 1
∑n=1∞atan⁡(x2−13(x2+1))\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right)} \right)} 
Sum(atan((x^2 - 1)/((sqrt(3)*(x^2 + 1)))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡(x2−13(x2+1))\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right)} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡(3(x2−1)3(x2+1))a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x^{2} - 1\right)}{3 \left(x^{2} + 1\right)} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞11 = \lim_{n \to \infty} 1
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
       /  ___ /      2\\
       |\/ 3 *\-1 + x /|
oo*atan|---------------|
       |     /     2\  |
       \   3*\1 + x /  /
∞atan⁡(3(x2−1)3(x2+1))\infty \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x^{2} - 1\right)}{3 \left(x^{2} + 1\right)} \right)} 
oo*atan(sqrt(3)*(-1 + x^2)/(3*(1 + x^2)))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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