Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- uno /(dos *pi)+sin(x)*cos(x)/pi+(sin(dos *x)*cos(dos *x))/ dos *pi
- 1 dividir por (2 multiplicar por número pi ) más seno de (x) multiplicar por coseno de (x) dividir por número pi más ( seno de (2 multiplicar por x) multiplicar por coseno de (2 multiplicar por x)) dividir por 2 multiplicar por número pi
- uno dividir por (dos multiplicar por número pi ) más seno de (x) multiplicar por coseno de (x) dividir por número pi más ( seno de (dos multiplicar por x) multiplicar por coseno de (dos multiplicar por x)) dividir por dos multiplicar por número pi
- 1/(2pi)+sin(x)cos(x)/pi+(sin(2x)cos(2x))/2pi
- 1/2pi+sinxcosx/pi+sin2xcos2x/2pi
- 1 dividir por (2*pi)+sin(x)*cos(x) dividir por pi+(sin(2*x)*cos(2*x)) dividir por 2*pi
-
Expresiones semejantes
- 1/(2*pi)-sin(x)*cos(x)/pi+(sin(2*x)*cos(2*x))/2*pi
- (1/2*pi)+((sin(x)*cos(x))/pi)+((sin(2*x)*cos(2*x))/2*pi)
- 1/(2*pi)+sin(x)*cos(x)/pi-(sin(2*x)*cos(2*x))/2*pi
- 1/(2*pi)+sinx*cosx/pi+(sin(2*x)*cos(2*x))/2*pi
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi*70*cos(500*pi*x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- Seno sin
- sin(x)^(1/3)
- sin(x)+3*cos(x)
- sin(x)^(2)*cos(x)^(2)
- sin(x)^4+cos(x)^4
- sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
- Coseno cos
- cos(x)+sqrt(2)/2
- cos(x)-1/3
- cos(x)*e^x
- cos(x)/1-sin(x)
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi*70*cos(500*pi*x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- Seno sin
- sin(x)^(1/3)
- sin(x)+3*cos(x)
- sin(x)^(2)*cos(x)^(2)
- sin(x)^4+cos(x)^4
- sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
- Coseno cos
- cos(x)+sqrt(2)/2
- cos(x)-1/3
- cos(x)*e^x
- cos(x)/1-sin(x)
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi*70*cos(500*pi*x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
Gráfico de la función y = 1/(2*pi)+sin(x)*cos(x)/pi+(sin(2*x)*cos(2*x))/2*pi
Solución
Ha introducido
[src]
1 sin(x)*cos(x) sin(2*x)*cos(2*x)
f(x) = ---- + ------------- + -----------------*pi
2*pi pi 2
$$f{\left(x \right)} = \pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)$$
f = pi*((sin(2*x)*cos(2*x))/2) + (sin(x)*cos(x))/pi + 1/(2*pi)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 64.3457456046531$$
$$x_{2} = -36.1852193102203$$
$$x_{3} = -14.1940707350917$$
$$x_{4} = -7.91088542791213$$
$$x_{5} = -59.736505374425$$
$$x_{6} = 84.037603483527$$
$$x_{7} = 94.2015346514749$$
$$x_{8} = 6.23694035096067$$
$$x_{9} = 80.0537088726021$$
$$x_{10} = 68.329640215578$$
$$x_{11} = 51.7793749902939$$
$$x_{12} = 87.9183493442953$$
$$x_{13} = -54.1924732744239$$
$$x_{14} = 70.0035852925295$$
$$x_{15} = -47.9092879672443$$
$$x_{16} = -95.8754797284263$$
$$x_{17} = 4.03013956714381$$
$$x_{18} = -99.6424180013194$$
$$x_{19} = -88.7499924639117$$
$$x_{20} = 90.3207887907066$$
$$x_{21} = -37.7453567992964$$
$$x_{22} = 91.994733867658$$
$$x_{23} = -39.9521575831133$$
$$x_{24} = 43.9360521940382$$
$$x_{25} = -44.028542106476$$
$$x_{26} = 86.3368941797817$$
$$x_{27} = -69.9004365423729$$
$$x_{28} = -19.6349540849362$$
$$x_{29} = -55.6601208510623$$
$$x_{30} = 42.3545970295246$$
$$x_{31} = -3.92699081698724$$
$$x_{32} = -61.9433061582418$$
$$x_{33} = -88.0108392567331$$
$$x_{34} = -76.1836218495525$$
$$x_{35} = 62.0464549083984$$
$$x_{36} = 0.888546913554016$$
$$x_{37} = 71.4712328691678$$
$$x_{38} = -77.6512694261908$$
$$x_{39} = 14.0802631472164$$
$$x_{40} = -33.0436266566305$$
$$x_{41} = 10.3133248743234$$
$$x_{42} = 20.363448454396$$
$$x_{43} = -15.7542082241679$$
$$x_{44} = 54.2956220245805$$
$$x_{45} = 24.3473430653209$$
$$x_{46} = -11.6778237008052$$
$$x_{47} = 28.2280889260892$$
$$x_{48} = 40.0553063332699$$
$$x_{49} = -29.9020340030407$$
$$x_{50} = -45.6099972709897$$
$$x_{51} = -23.6188486958611$$
$$x_{52} = 58.0625602974735$$
$$x_{53} = -81.7276539495535$$
$$x_{54} = -74.509676772601$$
$$x_{55} = 21.9449036189096$$
$$x_{56} = 95.1363265212478$$
$$x_{57} = -33.6689722759337$$
$$x_{58} = 22.8796954886826$$
$$x_{59} = -67.6011458461182$$
$$x_{60} = -17.9610090079847$$
$$x_{61} = 29.7882264151654$$
$$x_{62} = 48.0124367174009$$
$$x_{63} = 36.071411722345$$
$$x_{64} = -66.0196906816046$$
$$x_{65} = 26.0212881422724$$
$$x_{66} = 18.0641577581413$$
$$x_{67} = -41.6261026600648$$
$$x_{68} = -85.6083998103219$$
$$x_{69} = -1.62770012073255$$
$$x_{70} = 50.2192375012178$$
$$x_{71} = 65.9272007691667$$
$$x_{72} = -58.1763678853488$$
$$x_{73} = -83.9344547333704$$
$$x_{74} = -22.0373935313475$$
$$x_{75} = 72.2103860763463$$
$$x_{76} = 76.2867705997091$$
$$x_{77} = -51.8931825781692$$
$$x_{78} = -63.6172512351933$$
$$x_{79} = 46.3384916404494$$
$$x_{80} = -0.0462449562189172$$
$$x_{81} = 7.79707784003683$$
$$x_{82} = 98.2779191748376$$
$$x_{83} = -91.8915851175014$$
$$x_{84} = -80.1675164604774$$
$$x_{85} = -98.174770424681$$
$$x_{86} = -73.8843311532978$$
$$x_{87} = -25.9181393921158$$
$$x_{88} = 32.3044734494519$$
$$x_{89} = 2.35619449019234$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 64.3457456046531$$
$$x_{2} = -36.1852193102203$$
$$x_{3} = -14.1940707350917$$
$$x_{4} = -7.91088542791213$$
$$x_{5} = -59.736505374425$$
$$x_{6} = 84.037603483527$$
$$x_{7} = 94.2015346514749$$
$$x_{8} = 6.23694035096067$$
$$x_{9} = 80.0537088726021$$
$$x_{10} = 68.329640215578$$
$$x_{11} = 51.7793749902939$$
$$x_{12} = 87.9183493442953$$
$$x_{13} = -54.1924732744239$$
$$x_{14} = 70.0035852925295$$
$$x_{15} = -47.9092879672443$$
$$x_{16} = -95.8754797284263$$
$$x_{17} = 4.03013956714381$$
$$x_{18} = -99.6424180013194$$
$$x_{19} = -88.7499924639117$$
$$x_{20} = 90.3207887907066$$
$$x_{21} = -37.7453567992964$$
$$x_{22} = 91.994733867658$$
$$x_{23} = -39.9521575831133$$
$$x_{24} = 43.9360521940382$$
$$x_{25} = -44.028542106476$$
$$x_{26} = 86.3368941797817$$
$$x_{27} = -69.9004365423729$$
$$x_{28} = -19.6349540849362$$
$$x_{29} = -55.6601208510623$$
$$x_{30} = 42.3545970295246$$
$$x_{31} = -3.92699081698724$$
$$x_{32} = -61.9433061582418$$
$$x_{33} = -88.0108392567331$$
$$x_{34} = -76.1836218495525$$
$$x_{35} = 62.0464549083984$$
$$x_{36} = 0.888546913554016$$
$$x_{37} = 71.4712328691678$$
$$x_{38} = -77.6512694261908$$
$$x_{39} = 14.0802631472164$$
$$x_{40} = -33.0436266566305$$
$$x_{41} = 10.3133248743234$$
$$x_{42} = 20.363448454396$$
$$x_{43} = -15.7542082241679$$
$$x_{44} = 54.2956220245805$$
$$x_{45} = 24.3473430653209$$
$$x_{46} = -11.6778237008052$$
$$x_{47} = 28.2280889260892$$
$$x_{48} = 40.0553063332699$$
$$x_{49} = -29.9020340030407$$
$$x_{50} = -45.6099972709897$$
$$x_{51} = -23.6188486958611$$
$$x_{52} = 58.0625602974735$$
$$x_{53} = -81.7276539495535$$
$$x_{54} = -74.509676772601$$
$$x_{55} = 21.9449036189096$$
$$x_{56} = 95.1363265212478$$
$$x_{57} = -33.6689722759337$$
$$x_{58} = 22.8796954886826$$
$$x_{59} = -67.6011458461182$$
$$x_{60} = -17.9610090079847$$
$$x_{61} = 29.7882264151654$$
$$x_{62} = 48.0124367174009$$
$$x_{63} = 36.071411722345$$
$$x_{64} = -66.0196906816046$$
$$x_{65} = 26.0212881422724$$
$$x_{66} = 18.0641577581413$$
$$x_{67} = -41.6261026600648$$
$$x_{68} = -85.6083998103219$$
$$x_{69} = -1.62770012073255$$
$$x_{70} = 50.2192375012178$$
$$x_{71} = 65.9272007691667$$
$$x_{72} = -58.1763678853488$$
$$x_{73} = -83.9344547333704$$
$$x_{74} = -22.0373935313475$$
$$x_{75} = 72.2103860763463$$
$$x_{76} = 76.2867705997091$$
$$x_{77} = -51.8931825781692$$
$$x_{78} = -63.6172512351933$$
$$x_{79} = 46.3384916404494$$
$$x_{80} = -0.0462449562189172$$
$$x_{81} = 7.79707784003683$$
$$x_{82} = 98.2779191748376$$
$$x_{83} = -91.8915851175014$$
$$x_{84} = -80.1675164604774$$
$$x_{85} = -98.174770424681$$
$$x_{86} = -73.8843311532978$$
$$x_{87} = -25.9181393921158$$
$$x_{88} = 32.3044734494519$$
$$x_{89} = 2.35619449019234$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\pi} + \pi \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\pi} + \pi \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \pi + \frac{1}{2 \pi}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(2*pi) + (sin(x)*cos(x))/pi + ((sin(2*x)*cos(2*x))/2)*pi, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} - \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \pi}$$
- No
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \pi}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} - \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \pi}$$
- No
$$\pi \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{1}{2 \pi}\right) = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \pi}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar