Integral de cosx/(sqrt(1/2+sinx)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1}}\, dx$

      1. que $u = 2 \sin{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = 2 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \sqrt{2 \sin{\left(x \right)} + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{4 \sin{\left(x \right)} + 2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{4 \sin{\left(x \right)} + 2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{4 \sin{\left(x \right)} + 2}+ \mathrm{constant}$