Integral de x^2*(3*pi-2*x)*cos(pi*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}$

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + 2 x \left(- 2 x + 3 \pi\right)$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \pi x$.

         Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{6 x \left(x - \pi\right)}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi} - \frac{6 \left(x - \pi\right)}{\pi}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \pi x$.

         Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \frac{6 \left(2 x - \pi\right)}{\pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{12}{\pi^{2}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \pi x$.

         Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{12 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{12 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}$

      1. que $u = \pi x$.

         Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}$

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

            1. que $u = \pi x$.

               Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}$