Integral de x^2*(3*pi-2*x)*cos(pi*x) dx
Solución
Solución detallada
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
Vuelva a escribir el integrando:
x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) = − 2 x 3 cos ( π x ) + 3 π x 2 cos ( π x ) x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) = − 2 x 3 cos ( π x ) + 3 π x 2 cos ( π x )
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 2 x 3 cos ( π x ) ) d x = − 2 ∫ x 3 cos ( π x ) d x \int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx ∫ ( − 2 x 3 cos ( π x ) ) d x = − 2 ∫ x 3 cos ( π x ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = x 3 u{\left(x \right)} = x^{3} u ( x ) = x 3 y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 3 x 2 \operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2} du ( x ) = 3 x 2 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = 3 x 2 π u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi} u ( x ) = π 3 x 2 y que dv ( x ) = sin ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = sin ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 6 x π \operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi} du ( x ) = π 6 x .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = − 6 x π 2 u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} u ( x ) = − π 2 6 x y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = − 6 π 2 \operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}} du ( x ) = − π 2 6 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 6 sin ( π x ) π 3 ) d x = − 6 ∫ sin ( π x ) d x π 3 \int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}} ∫ ( − π 3 6 s i n ( π x ) ) d x = − π 3 6 ∫ s i n ( π x ) d x
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: 6 cos ( π x ) π 4 \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} π 4 6 c o s ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: − 2 x 3 sin ( π x ) π − 6 x 2 cos ( π x ) π 2 + 12 x sin ( π x ) π 3 + 12 cos ( π x ) π 4 - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} − π 2 x 3 s i n ( π x ) − π 2 6 x 2 c o s ( π x ) + π 3 12 x s i n ( π x ) + π 4 12 c o s ( π x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 3 π x 2 cos ( π x ) d x = 3 π ∫ x 2 cos ( π x ) d x \int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx ∫ 3 π x 2 cos ( π x ) d x = 3 π ∫ x 2 cos ( π x ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = x 2 u{\left(x \right)} = x^{2} u ( x ) = x 2 y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 2 x \operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x du ( x ) = 2 x .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = 2 x π u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi} u ( x ) = π 2 x y que dv ( x ) = sin ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = sin ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 2 π \operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi} du ( x ) = π 2 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 2 cos ( π x ) π 2 ) d x = − 2 ∫ cos ( π x ) d x π 2 \int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}} ∫ ( − π 2 2 c o s ( π x ) ) d x = − π 2 2 ∫ c o s ( π x ) d x
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: − 2 sin ( π x ) π 3 - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} − π 3 2 s i n ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: 3 π ( x 2 sin ( π x ) π + 2 x cos ( π x ) π 2 − 2 sin ( π x ) π 3 ) 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) 3 π ( π x 2 s i n ( π x ) + π 2 2 x c o s ( π x ) − π 3 2 s i n ( π x ) )
El resultado es: − 2 x 3 sin ( π x ) π − 6 x 2 cos ( π x ) π 2 + 12 x sin ( π x ) π 3 + 3 π ( x 2 sin ( π x ) π + 2 x cos ( π x ) π 2 − 2 sin ( π x ) π 3 ) + 12 cos ( π x ) π 4 - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} − π 2 x 3 s i n ( π x ) − π 2 6 x 2 c o s ( π x ) + π 3 12 x s i n ( π x ) + 3 π ( π x 2 s i n ( π x ) + π 2 2 x c o s ( π x ) − π 3 2 s i n ( π x ) ) + π 4 12 c o s ( π x )
Método #2
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = x 2 ( − 2 x + 3 π ) u{\left(x \right)} = x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) u ( x ) = x 2 ( − 2 x + 3 π ) y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = − 2 x 2 + 2 x ( − 2 x + 3 π ) \operatorname{du}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + 2 x \left(- 2 x + 3 \pi\right) du ( x ) = − 2 x 2 + 2 x ( − 2 x + 3 π ) .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = − 6 x ( x − π ) π u{\left(x \right)} = - \frac{6 x \left(x - \pi\right)}{\pi} u ( x ) = − π 6 x ( x − π ) y que dv ( x ) = sin ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = sin ( π x ) .
Entonces du ( x ) = − 6 x π − 6 ( x − π ) π \operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi} - \frac{6 \left(x - \pi\right)}{\pi} du ( x ) = − π 6 x − π 6 ( x − π ) .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = 6 ( 2 x − π ) π 2 u{\left(x \right)} = \frac{6 \left(2 x - \pi\right)}{\pi^{2}} u ( x ) = π 2 6 ( 2 x − π ) y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 12 π 2 \operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{12}{\pi^{2}} du ( x ) = π 2 12 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 12 sin ( π x ) π 3 d x = 12 ∫ sin ( π x ) d x π 3 \int \frac{12 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{12 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}} ∫ π 3 12 s i n ( π x ) d x = π 3 12 ∫ s i n ( π x ) d x
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: − 12 cos ( π x ) π 4 - \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} − π 4 12 c o s ( π x )
Método #3
Vuelva a escribir el integrando:
x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) = − 2 x 3 cos ( π x ) + 3 π x 2 cos ( π x ) x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) = − 2 x 3 cos ( π x ) + 3 π x 2 cos ( π x )
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 2 x 3 cos ( π x ) ) d x = − 2 ∫ x 3 cos ( π x ) d x \int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx ∫ ( − 2 x 3 cos ( π x ) ) d x = − 2 ∫ x 3 cos ( π x ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = x 3 u{\left(x \right)} = x^{3} u ( x ) = x 3 y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 3 x 2 \operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2} du ( x ) = 3 x 2 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = 3 x 2 π u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi} u ( x ) = π 3 x 2 y que dv ( x ) = sin ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = sin ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 6 x π \operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi} du ( x ) = π 6 x .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = − 6 x π 2 u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} u ( x ) = − π 2 6 x y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = − 6 π 2 \operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}} du ( x ) = − π 2 6 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 6 sin ( π x ) π 3 ) d x = − 6 ∫ sin ( π x ) d x π 3 \int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}} ∫ ( − π 3 6 s i n ( π x ) ) d x = − π 3 6 ∫ s i n ( π x ) d x
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: 6 cos ( π x ) π 4 \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} π 4 6 c o s ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: − 2 x 3 sin ( π x ) π − 6 x 2 cos ( π x ) π 2 + 12 x sin ( π x ) π 3 + 12 cos ( π x ) π 4 - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} − π 2 x 3 s i n ( π x ) − π 2 6 x 2 c o s ( π x ) + π 3 12 x s i n ( π x ) + π 4 12 c o s ( π x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 3 π x 2 cos ( π x ) d x = 3 π ∫ x 2 cos ( π x ) d x \int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx ∫ 3 π x 2 cos ( π x ) d x = 3 π ∫ x 2 cos ( π x ) d x
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = x 2 u{\left(x \right)} = x^{2} u ( x ) = x 2 y que dv ( x ) = cos ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = cos ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 2 x \operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x du ( x ) = 2 x .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:
∫ u dv = u v − ∫ v du \int \operatorname{u} \operatorname{dv}
= \operatorname{u}\operatorname{v} -
\int \operatorname{v} \operatorname{du} ∫ u dv = u v − ∫ v du
que u ( x ) = 2 x π u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi} u ( x ) = π 2 x y que dv ( x ) = sin ( π x ) \operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} dv ( x ) = sin ( π x ) .
Entonces du ( x ) = 2 π \operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi} du ( x ) = π 2 .
Para buscar v ( x ) v{\left(x \right)} v ( x ) :
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ sin ( u ) π d u \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π s i n ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ sin ( u ) d u = ∫ sin ( u ) d u π \int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ sin ( u ) d u = π ∫ s i n ( u ) d u
La integral del seno es un coseno menos:
∫ sin ( u ) d u = − cos ( u ) \int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)} ∫ sin ( u ) d u = − cos ( u )
Por lo tanto, el resultado es: − cos ( u ) π - \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} − π c o s ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos ( π x ) π - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} − π c o s ( π x )
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 2 cos ( π x ) π 2 ) d x = − 2 ∫ cos ( π x ) d x π 2 \int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}} ∫ ( − π 2 2 c o s ( π x ) ) d x = − π 2 2 ∫ c o s ( π x ) d x
que u = π x u = \pi x u = π x .
Luego que d u = π d x du = \pi dx d u = π d x y ponemos d u π \frac{du}{\pi} π d u :
∫ cos ( u ) π d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du ∫ π c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u π \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi} ∫ cos ( u ) d u = π ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) π \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} π s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( π x ) π \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} π s i n ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: − 2 sin ( π x ) π 3 - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} − π 3 2 s i n ( π x )
Por lo tanto, el resultado es: 3 π ( x 2 sin ( π x ) π + 2 x cos ( π x ) π 2 − 2 sin ( π x ) π 3 ) 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) 3 π ( π x 2 s i n ( π x ) + π 2 2 x c o s ( π x ) − π 3 2 s i n ( π x ) )
El resultado es: − 2 x 3 sin ( π x ) π − 6 x 2 cos ( π x ) π 2 + 12 x sin ( π x ) π 3 + 3 π ( x 2 sin ( π x ) π + 2 x cos ( π x ) π 2 − 2 sin ( π x ) π 3 ) + 12 cos ( π x ) π 4 - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} − π 2 x 3 s i n ( π x ) − π 2 6 x 2 c o s ( π x ) + π 3 12 x s i n ( π x ) + 3 π ( π x 2 s i n ( π x ) + π 2 2 x c o s ( π x ) − π 3 2 s i n ( π x ) ) + π 4 12 c o s ( π x )
Ahora simplificar:
3 π 4 x 2 sin ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 sin ( π x ) + 3 cos ( π x ) ) + 12 π x sin ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 cos ( π x ) + sin ( π x ) ) + 12 cos ( π x ) π 4 \frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} π 4 3 π 4 x 2 s i n ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 s i n ( π x ) + 3 c o s ( π x ) ) + 12 π x s i n ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 c o s ( π x ) + s i n ( π x ) ) + 12 c o s ( π x )
Añadimos la constante de integración:
3 π 4 x 2 sin ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 sin ( π x ) + 3 cos ( π x ) ) + 12 π x sin ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 cos ( π x ) + sin ( π x ) ) + 12 cos ( π x ) π 4 + c o n s t a n t \frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant} π 4 3 π 4 x 2 s i n ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 s i n ( π x ) + 3 c o s ( π x ) ) + 12 π x s i n ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 c o s ( π x ) + s i n ( π x ) ) + 12 c o s ( π x ) + constant
Respuesta:
3 π 4 x 2 sin ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 sin ( π x ) + 3 cos ( π x ) ) + 12 π x sin ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 cos ( π x ) + sin ( π x ) ) + 12 cos ( π x ) π 4 + c o n s t a n t \frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant} π 4 3 π 4 x 2 s i n ( π x ) + 2 π 3 x ( − x 2 s i n ( π x ) + 3 c o s ( π x ) ) + 12 π x s i n ( π x ) − 6 π 2 ( x 2 c o s ( π x ) + s i n ( π x ) ) + 12 c o s ( π x ) + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| / 2 \ 2 3
| 2 | 2*sin(pi*x) x *sin(pi*x) 2*x*cos(pi*x)| 12*cos(pi*x) 6*x *cos(pi*x) 2*x *sin(pi*x) 12*x*sin(pi*x)
| x *(3*pi - 2*x)*cos(pi*x) dx = C + 3*pi*|- ----------- + ------------ + -------------| + ------------ - -------------- - -------------- + --------------
| | 3 pi 2 | 4 2 pi 3
/ \ pi pi / pi pi pi
∫ x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) d x = C − 2 x 3 sin ( π x ) π − 6 x 2 cos ( π x ) π 2 + 12 x sin ( π x ) π 3 + 3 π ( x 2 sin ( π x ) π + 2 x cos ( π x ) π 2 − 2 sin ( π x ) π 3 ) + 12 cos ( π x ) π 4 \int x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} ∫ x 2 ( − 2 x + 3 π ) cos ( π x ) d x = C − π 2 x 3 sin ( π x ) − π 2 6 x 2 cos ( π x ) + π 3 12 x sin ( π x ) + 3 π ( π x 2 sin ( π x ) + π 2 2 x cos ( π x ) − π 3 2 sin ( π x ) ) + π 4 12 cos ( π x )
Gráfica
0.00 3.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 -50 50
24 18 54
- --- - -- + ---
4 pi 2
pi pi
− 18 π − 24 π 4 + 54 π 2 - \frac{18}{\pi} - \frac{24}{\pi^{4}} + \frac{54}{\pi^{2}} − π 18 − π 4 24 + π 2 54
=
24 18 54
- --- - -- + ---
4 pi 2
pi pi
− 18 π − 24 π 4 + 54 π 2 - \frac{18}{\pi} - \frac{24}{\pi^{4}} + \frac{54}{\pi^{2}} − π 18 − π 4 24 + π 2 54
-24/pi^4 - 18/pi + 54/pi^2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.