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Integral de x^2*(3*pi-2*x)*cos(pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  x *(3*pi - 2*x)*cos(pi*x) dx
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0                               
03x2(2x+3π)cos(πx)dx\int\limits_{0}^{3} x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx
Integral((x^2*(3*pi - 2*x))*cos(pi*x), (x, 0, 3))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(2x+3π)cos(πx)=2x3cos(πx)+3πx2cos(πx)x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2x3cos(πx))dx=2x3cos(πx)dx\int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=3x2πu{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi} y que dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=6xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=6xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=6π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (6sin(πx)π3)dx=6sin(πx)dxπ3\int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 6cos(πx)π4\frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x3sin(πx)π6x2cos(πx)π2+12xsin(πx)π3+12cos(πx)π4- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3πx2cos(πx)dx=3πx2cos(πx)dx\int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2xπu{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi} y que dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2cos(πx)π2)dx=2cos(πx)dxπ2\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin(πx)π3- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 3π(x2sin(πx)π+2xcos(πx)π22sin(πx)π3)3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)

      El resultado es: 2x3sin(πx)π6x2cos(πx)π2+12xsin(πx)π3+3π(x2sin(πx)π+2xcos(πx)π22sin(πx)π3)+12cos(πx)π4- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2(2x+3π)u{\left(x \right)} = x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du(x)=2x2+2x(2x+3π)\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + 2 x \left(- 2 x + 3 \pi\right).

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6x(xπ)πu{\left(x \right)} = - \frac{6 x \left(x - \pi\right)}{\pi} y que dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du(x)=6xπ6(xπ)π\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi} - \frac{6 \left(x - \pi\right)}{\pi}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6(2xπ)π2u{\left(x \right)} = \frac{6 \left(2 x - \pi\right)}{\pi^{2}} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du(x)=12π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{12}{\pi^{2}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      12sin(πx)π3dx=12sin(πx)dxπ3\int \frac{12 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{12 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: 12cos(πx)π4- \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(2x+3π)cos(πx)=2x3cos(πx)+3πx2cos(πx)x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)} + 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2x3cos(πx))dx=2x3cos(πx)dx\int \left(- 2 x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=3x2πu{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{\pi} y que dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=6xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=6xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=6π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (6sin(πx)π3)dx=6sin(πx)dxπ3\int \left(- \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{6 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 6cos(πx)π4\frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x3sin(πx)π6x2cos(πx)π2+12xsin(πx)π3+12cos(πx)π4- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3πx2cos(πx)dx=3πx2cos(πx)dx\int 3 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 3 \pi \int x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2xπu{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi} y que dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du(x)=2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            sin(u)πdu\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=sin(u)duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2cos(πx)π2)dx=2cos(πx)dxπ2\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            cos(u)πdu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin(πx)π3- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 3π(x2sin(πx)π+2xcos(πx)π22sin(πx)π3)3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right)

      El resultado es: 2x3sin(πx)π6x2cos(πx)π2+12xsin(πx)π3+3π(x2sin(πx)π+2xcos(πx)π22sin(πx)π3)+12cos(πx)π4- \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

  2. Ahora simplificar:

    3π4x2sin(πx)+2π3x(x2sin(πx)+3cos(πx))+12πxsin(πx)6π2(x2cos(πx)+sin(πx))+12cos(πx)π4\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3π4x2sin(πx)+2π3x(x2sin(πx)+3cos(πx))+12πxsin(πx)6π2(x2cos(πx)+sin(πx))+12cos(πx)π4+constant\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3π4x2sin(πx)+2π3x(x2sin(πx)+3cos(πx))+12πxsin(πx)6π2(x2cos(πx)+sin(πx))+12cos(πx)π4+constant\frac{3 \pi^{4} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \pi^{3} x \left(- x^{2} \sin{\left(\pi x \right)} + 3 \cos{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \pi^{2} \left(x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}\right) + 12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                                                        
 |                                         /                 2                          \                     2                3                           
 |  2                                      |  2*sin(pi*x)   x *sin(pi*x)   2*x*cos(pi*x)|   12*cos(pi*x)   6*x *cos(pi*x)   2*x *sin(pi*x)   12*x*sin(pi*x)
 | x *(3*pi - 2*x)*cos(pi*x) dx = C + 3*pi*|- ----------- + ------------ + -------------| + ------------ - -------------- - -------------- + --------------
 |                                         |        3            pi               2     |         4               2               pi                3      
/                                          \      pi                            pi      /       pi              pi                                pi       
x2(2x+3π)cos(πx)dx=C2x3sin(πx)π6x2cos(πx)π2+12xsin(πx)π3+3π(x2sin(πx)π+2xcos(πx)π22sin(πx)π3)+12cos(πx)π4\int x^{2} \left(- 2 x + 3 \pi\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{2 x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{6 x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{12 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} + 3 \pi \left(\frac{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\right) + \frac{12 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}
Gráfica
0.003.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.75-5050
Respuesta [src]
   24   18    54
- --- - -- + ---
    4   pi     2
  pi         pi 
18π24π4+54π2- \frac{18}{\pi} - \frac{24}{\pi^{4}} + \frac{54}{\pi^{2}}
=
=
   24   18    54
- --- - -- + ---
    4   pi     2
  pi         pi 
18π24π4+54π2- \frac{18}{\pi} - \frac{24}{\pi^{4}} + \frac{54}{\pi^{2}}
-24/pi^4 - 18/pi + 54/pi^2
Respuesta numérica [src]
-0.504617608734417
-0.504617608734417

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.