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Resolución de integrales/ (pi/2)-|x|*cos(x*n)

Integral de (pi/2)-|x|*cos(x*n) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                       
  /                       
 |                        
 |  /pi               \   
 |  |-- - |x|*cos(x*n)| dx
 |  \2                /   
 |                        
/                         
0
∫0π(−cos⁡(nx)∣x∣+π2) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(- \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right| + \frac{\pi}{2}\right)\, dx 
Integral(pi/2 - |x|*cos(x*n), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(nx)∣x∣) dx=−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx\int \left(- \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\right)\, dx = - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫cos⁡(nx)∣x∣ dx\int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫cos⁡(nx)∣x∣ dx- \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫π2 dx=πx2\int \frac{\pi}{2}\, dx = \frac{\pi x}{2}

    El resultado es: πx2−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx\frac{\pi x}{2} - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx

  2. Ahora simplificar:

    πx2−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx\frac{\pi x}{2} - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    πx2−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx+constant\frac{\pi x}{2} - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

πx2−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx+constant\frac{\pi x}{2} - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                /                      
 | /pi               \           |                   pi*x
 | |-- - |x|*cos(x*n)| dx = C -  | |x|*cos(x*n) dx + ----
 | \2                /           |                    2  
 |                              /                        
/
∫(−cos⁡(nx)∣x∣+π2) dx=C+πx2−∫cos⁡(nx)∣x∣ dx\int \left(- \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right| + \frac{\pi}{2}\right)\, dx = C + \frac{\pi x}{2} - \int \cos{\left(n x \right)} \left|{x}\right|\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
      //1    cos(pi*n)   pi*sin(pi*n)                                  \
      ||-- - --------- - ------------  for And(n > -oo, n < oo, n != 0)|
  2   || 2        2           n                                        |
pi    ||n        n                                                     |
--- + |<                                                               |
 2    ||               2                                               |
      ||            -pi                                                |
      ||            -----                         otherwise            |
      \\              2                                                /
{−πsin⁡(πn)n−cos⁡(πn)n2+1n2for n>−∞∧n<∞∧n≠0−π22otherwise+π22\begin{cases} - \frac{\pi \sin{\left(\pi n \right)}}{n} - \frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq 0 \\- \frac{\pi^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} + \frac{\pi^{2}}{2} 
=
= 
      //1    cos(pi*n)   pi*sin(pi*n)                                  \
      ||-- - --------- - ------------  for And(n > -oo, n < oo, n != 0)|
  2   || 2        2           n                                        |
pi    ||n        n                                                     |
--- + |<                                                               |
 2    ||               2                                               |
      ||            -pi                                                |
      ||            -----                         otherwise            |
      \\              2                                                /
{−πsin⁡(πn)n−cos⁡(πn)n2+1n2for n>−∞∧n<∞∧n≠0−π22otherwise+π22\begin{cases} - \frac{\pi \sin{\left(\pi n \right)}}{n} - \frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq 0 \\- \frac{\pi^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} + \frac{\pi^{2}}{2} 
pi^2/2 + Piecewise((n^(-2) - cos(pi*n)/n^2 - pi*sin(pi*n)/n, (n > -oo)∧(n < oo)∧(Ne(n, 0))), (-pi^2/2, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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