Integral de ln(sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u \log{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{2 u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = 2 u$.

                     Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{2 u}}{2}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

                  1. que $u = 2 u$.

                     Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{2 u}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} \log{\left(u \right)} - \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \log{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{x}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}$