Sr Examen

Integral de ln(sqrt(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1              
  /              
 |               
 |     /  ___\   
 |  log\\/ x / dx
 |               
/                
0                
01log(x)dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx
Integral(log(sqrt(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

      2ulog(u)du\int 2 u \log{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ulog(u)du=2ulog(u)du\int u \log{\left(u \right)}\, du = 2 \int u \log{\left(u \right)}\, du

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=log(u)u = \log{\left(u \right)}.

            Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

            ue2udu\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            u2log(u)2u24\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

          Método #2

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=log(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv(u)=u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u.

            Entonces du(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=udu2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: u2log(u)u22u^{2} \log{\left(u \right)} - \frac{u^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xlog(x)x2x \log{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{x}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du(x)=12x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x(log(x)1)2\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(log(x)1)2+constant\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(log(x)1)2+constant\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                    
 |                                     
 |    /  ___\          x        /  ___\
 | log\\/ x / dx = C - - + x*log\\/ x /
 |                     2               
/                                      
log(x)dx=C+xlog(x)x2\int \log{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx = C + x \log{\left(\sqrt{x} \right)} - \frac{x}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Respuesta [src]
-1/2
12- \frac{1}{2}
=
=
-1/2
12- \frac{1}{2}
-1/2
Respuesta numérica [src]
-0.5
-0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.