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Resolución de integrales/ -cosx/ cosx// x+sinx/ sinx-cosx/(cosx+sinx)

Integral de sinx-cosx/(cosx+sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                              
  -                              
  4                              
  /                              
 |                               
 |  /              cos(x)    \   
 |  |sin(x) - ---------------| dx
 |  \         cos(x) + sin(x)/   
 |                               
/                                
0
∫0x4(sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{x}{4}} \left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(sin(x) - cos(x)/(cos(x) + sin(x)), (x, 0, x/4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        x2+log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))2- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{2}

    El resultado es: −x2−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))2−cos⁡(x)- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −x2−log⁡(sin⁡(x+π4))2−cos⁡(x)−log⁡(2)4- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x2−log⁡(sin⁡(x+π4))2−cos⁡(x)−log⁡(2)4+constant- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2−log⁡(sin⁡(x+π4))2−cos⁡(x)−log⁡(2)4+constant- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                     
 |                                                                      
 | /              cos(x)    \                   x   log(cos(x) + sin(x))
 | |sin(x) - ---------------| dx = C - cos(x) - - - --------------------
 | \         cos(x) + sin(x)/                   2            2          
 |                                                                      
/
∫(sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx=C−x2−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))2−cos⁡(x)\int \left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = C - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                /   /x\      /x\\    
             log|cos|-| + sin|-||    
       /x\      \   \4/      \4//   x
1 - cos|-| - -------------------- - -
       \4/            2             8
−x8−log⁡(sin⁡(x4)+cos⁡(x4))2−cos⁡(x4)+1- \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1 
=
= 
                /   /x\      /x\\    
             log|cos|-| + sin|-||    
       /x\      \   \4/      \4//   x
1 - cos|-| - -------------------- - -
       \4/            2             8
−x8−log⁡(sin⁡(x4)+cos⁡(x4))2−cos⁡(x4)+1- \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1 
1 - cos(x/4) - log(cos(x/4) + sin(x/4))/2 - x/8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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