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Resolución de integrales/ x+sinx/ -cosx/ (sinx-cosx)/(cosx+sinx)

Integral de (sinx-cosx)/(cosx+sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                   
  -                   
  4                   
  /                   
 |                    
 |  sin(x) - cos(x)   
 |  --------------- dx
 |  cos(x) + sin(x)   
 |                    
/                     
0
∫0x4sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{x}{4}} \frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((sin(x) - cos(x))/(cos(x) + sin(x)), (x, 0, x/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)+cos⁡(x)u = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=(−sin⁡(x)+cos⁡(x))dxdu = \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) dx y ponemos −du- du:

      ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)=−−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx=−∫−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)+cos⁡(x)u = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−sin⁡(x)+cos⁡(x))dxdu = \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(sin⁡(x+π4))−log⁡(2)2- \log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(sin⁡(x+π4))−log⁡(2)2+constant- \log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(sin⁡(x+π4))−log⁡(2)2+constant- \log{\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 | sin(x) - cos(x)                              
 | --------------- dx = C - log(cos(x) + sin(x))
 | cos(x) + sin(x)                              
 |                                              
/
∫sin⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x) dx=C−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))\int \frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
    /   /x\      /x\\
-log|cos|-| + sin|-||
    \   \4/      \4//
−log⁡(sin⁡(x4)+cos⁡(x4))- \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} 
=
= 
    /   /x\      /x\\
-log|cos|-| + sin|-||
    \   \4/      \4//
−log⁡(sin⁡(x4)+cos⁡(x4))- \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} 
-log(cos(x/4) + sin(x/4))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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