Integral de (-cos(x)-sin(x))*exp(-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

               1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

               2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

               3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                  $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto,

                  $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         El resultado es: $e^{u} \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x} = - \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)\, dx = - \int \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

               1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

               2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

               3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                  $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto,

                  $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

                  1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

                  2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

                  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                     $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto,

                     $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            El resultado es: $- e^{u} \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x} \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{- x} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{- x} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$