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Resolución de integrales/ (x^4)/ exp(-ax^2)/ (x^4)*exp(-ax^2)

Integral de (x^4)*exp(-ax^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo             
  /             
 |              
 |          2   
 |   4  -a*x    
 |  x *e      dx
 |              
/               
0
∫0∞x4e−ax2 dx\int\limits_{0}^{\infty} x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx 
Integral(x^4*exp((-a)*x^2), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x4u{\left(x \right)} = x^{4} y que dv⁡(x)=e−ax2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- a x^{2}}.

    Entonces du⁡(x)=4x3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      ErfRule(a=-a, b=0, c=0, context=exp(-a*x**2), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2πx3−1aerfi⁡(ax−a)) dx=−2π−1a∫x3erfi⁡(ax−a) dx\int \left(- 2 \sqrt{\pi} x^{3} \sqrt{- \frac{1}{a}} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}\right)\, dx = - 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \int x^{3} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      −x4erfi⁡(iax)4+3erfi⁡(iax)16a2−ix3e−ax24πa−3ixe−ax28πa32- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}

    Por lo tanto, el resultado es: −2π−1a(−x4erfi⁡(iax)4+3erfi⁡(iax)16a2−ix3e−ax24πa−3ixe−ax28πa32)- 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \left(- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}\right)

  3. Ahora simplificar:

    −−1a(4ia72x3+6ia52x−4πa4x4eax2erfi⁡(x−a)+4πa4x4eax2erfi⁡(iax)−3πa2eax2erfi⁡(iax))e−ax28a4- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −−1a(4ia72x3+6ia52x−4πa4x4eax2erfi⁡(x−a)+4πa4x4eax2erfi⁡(iax)−3πa2eax2erfi⁡(iax))e−ax28a4+constant- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−−1a(4ia72x3+6ia52x−4πa4x4eax2erfi⁡(x−a)+4πa4x4eax2erfi⁡(iax)−3πa2eax2erfi⁡(iax))e−ax28a4+constant- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                                                                                     _____             
  /                                                                                                                      ____  4    / -1       / a*x  \
 |                                       /                                                       2              2  \   \/ pi *x *  /  --- *erfi|------|
 |         2                       _____ |   4     /      ___\         /      ___\           -a*x        3  -a*x   |             \/    a       |  ____|
 |  4  -a*x               ____    / -1   |  x *erfi\I*x*\/ a /   3*erfi\I*x*\/ a /    3*I*x*e         I*x *e       |                           \\/ -a /
 | x *e      dx = C + 2*\/ pi *  /  --- *|- ------------------ + ----------------- - ------------- - --------------| - --------------------------------
 |                             \/    a   |          4                      2             ____  3/2       ____   ___|                  2                
/                                        \                             16*a          8*\/ pi *a      4*\/ pi *\/ a /
∫x4e−ax2 dx=C−πx4−1aerfi⁡(ax−a)2+2π−1a(−x4erfi⁡(iax)4+3erfi⁡(iax)16a2−ix3e−ax24πa−3ixe−ax28πa32)\int x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx = C - \frac{\sqrt{\pi} x^{4} \sqrt{- \frac{1}{a}} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}}{2} + 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \left(- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
/        ____                       
|    3*\/ pi                      pi
|    --------      for |arg(a)| < --
|        5/2                      2 
|     8*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   4  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\0
{3π8a52for ∣arg⁡(a)∣<π2∫0∞x4e−ax2 dxotherwise\begin{cases} \frac{3 \sqrt{\pi}}{8 a^{\frac{5}{2}}} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{0}^{\infty} x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/        ____                       
|    3*\/ pi                      pi
|    --------      for |arg(a)| < --
|        5/2                      2 
|     8*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   4  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\0
{3π8a52for ∣arg⁡(a)∣<π2∫0∞x4e−ax2 dxotherwise\begin{cases} \frac{3 \sqrt{\pi}}{8 a^{\frac{5}{2}}} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{0}^{\infty} x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((3*sqrt(pi)/(8*a^(5/2)), Abs(arg(a)) < pi/2), (Integral(x^4*exp(-a*x^2), (x, 0, oo)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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