Sr Examen

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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de sin²xcos³x
Integral de x^2e^x
Integral de x^3cosx
Integral de sec³xdx
Expresiones idénticas
(x^ cuatro)*exp(-ax^ dos)
(x en el grado 4) multiplicar por exponente de ( menos ax al cuadrado )
(x en el grado cuatro) multiplicar por exponente de ( menos ax en el grado dos)
(x4)*exp(-ax2)
x4*exp-ax2
(x⁴)*exp(-ax²)
(x en el grado 4)*exp(-ax en el grado 2)
(x^4)exp(-ax^2)
(x4)exp(-ax2)
x4exp-ax2
x^4exp-ax^2
(x^4)*exp(-ax^2)dx
Expresiones semejantes
(x^4)*exp(ax^2)
Expresiones con funciones
Exponente exp
exp^(-3x)*cos^3(2x)
exp(-2ax^2)
exp(-x-1)
exp^(tg*5x)*(sec^2*5x)
exp(2x)
ax
ax+b+c÷sqrtax^2+bx+c
ax-4/3
ax*sin(b*x)
Ax^8
ax^2*e^ax

Resolución de integrales/ (x^4)/ exp(-ax^2)/ (x^4)*exp(-ax^2)

Integral de (x^4)*exp(-ax^2) dx

Solución

Ha introducido [src]

 oo             
  /             
 |              
 |          2   
 |   4  -a*x    
 |  x *e      dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{\infty} x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx$$

Integral(x^4*exp((-a)*x^2), (x, 0, oo))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- a x^{2}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \left(- 2 \sqrt{\pi} x^{3} \sqrt{- \frac{1}{a}} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}\right)\, dx = - 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \int x^{3} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}\, dx$
1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
  
  Pero la integral
  
  $- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}$
Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \left(- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}\right)$
Ahora simplificar:

$- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}} \left(4 i a^{\frac{7}{2}} x^{3} + 6 i a^{\frac{5}{2}} x - 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{- a} \right)} + 4 \sqrt{\pi} a^{4} x^{4} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)} - 3 \sqrt{\pi} a^{2} e^{a x^{2}} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}\right) e^{- a x^{2}}}{8 a^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                                                                                                                     _____             
  /                                                                                                                      ____  4    / -1       / a*x  \
 |                                       /                                                       2              2  \   \/ pi *x *  /  --- *erfi|------|
 |         2                       _____ |   4     /      ___\         /      ___\           -a*x        3  -a*x   |             \/    a       |  ____|
 |  4  -a*x               ____    / -1   |  x *erfi\I*x*\/ a /   3*erfi\I*x*\/ a /    3*I*x*e         I*x *e       |                           \\/ -a /
 | x *e      dx = C + 2*\/ pi *  /  --- *|- ------------------ + ----------------- - ------------- - --------------| - --------------------------------
 |                             \/    a   |          4                      2             ____  3/2       ____   ___|                  2                
/                                        \                             16*a          8*\/ pi *a      4*\/ pi *\/ a /

$$\int x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx = C - \frac{\sqrt{\pi} x^{4} \sqrt{- \frac{1}{a}} \operatorname{erfi}{\left(\frac{a x}{\sqrt{- a}} \right)}}{2} + 2 \sqrt{\pi} \sqrt{- \frac{1}{a}} \left(- \frac{x^{4} \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{4} + \frac{3 \operatorname{erfi}{\left(i \sqrt{a} x \right)}}{16 a^{2}} - \frac{i x^{3} e^{- a x^{2}}}{4 \sqrt{\pi} \sqrt{a}} - \frac{3 i x e^{- a x^{2}}}{8 \sqrt{\pi} a^{\frac{3}{2}}}\right)$$

Simplificar

Respuesta [src]

/        ____                       
|    3*\/ pi                      pi
|    --------      for |arg(a)| < --
|        5/2                      2 
|     8*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   4  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\0

$$\begin{cases} \frac{3 \sqrt{\pi}}{8 a^{\frac{5}{2}}} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{0}^{\infty} x^{4} e^{- a x^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$

/        ____                       
|    3*\/ pi                      pi
|    --------      for |arg(a)| < --
|        5/2                      2 
|     8*a                           
|                                   
| oo                                
<  /                                
| |                                 
| |          2                      
| |   4  -a*x                       
| |  x *e      dx      otherwise    
| |                                 
|/                                  
\0

Piecewise((3*sqrt(pi)/(8*a^(5/2)), Abs(arg(a)) < pi/2), (Integral(x^4*exp(-a*x^2), (x, 0, oo)), True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (x^4)*exp(-ax^2) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución