Sr Examen

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Integral de 1/pi(cos(x)*sin(w*x)*dx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  l                   
  -                   
  2                   
  /                   
 |                    
 |  cos(x)*sin(w*x)   
 |  --------------- dx
 |         pi         
 |                    
/                     
0                     
$$\int\limits_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{\sin{\left(w x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi}\, dx$$
Integral((cos(x)*sin(w*x))/pi, (x, 0, l/2))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

    Por lo tanto, el resultado es:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                            /                  2                              
                            |               cos (x)                           
                            |               -------                 for w = -1
                            |                  2                              
                            |                                                 
                            |                  2                              
                            |              -cos (x)                           
                            <              ---------                for w = 1 
                            |                  2                              
                            |                                                 
                            |  sin(x)*sin(w*x)   w*cos(x)*cos(w*x)            
                            |- --------------- - -----------------  otherwise 
  /                         |            2                  2                 
 |                          |      -1 + w             -1 + w                  
 | cos(x)*sin(w*x)          \                                                 
 | --------------- dx = C + --------------------------------------------------
 |        pi                                        pi                        
 |                                                                            
/                                                                             
$$\int \frac{\sin{\left(w x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi}\, dx = C + \frac{\begin{cases} \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: w = -1 \\- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: w = 1 \\- \frac{w \cos{\left(x \right)} \cos{\left(w x \right)}}{w^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(w x \right)}}{w^{2} - 1} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi}$$
Respuesta [src]
/                              2/l\                              
|                           cos |-|                              
|                     1         \2/                              
|                  - ---- + -------                    for w = -1
|                    2*pi     2*pi                               
|                                                                
|                             2/l\                               
|                          cos |-|                               
|                    1         \2/                               
|                   ---- - -------                     for w = 1 
<                   2*pi     2*pi                                
|                                                                
|     /l\    /l*w\        /l\    /l*w\                           
|  sin|-|*sin|---|   w*cos|-|*cos|---|                           
|     \2/    \ 2 /        \2/    \ 2 /                           
|- --------------- - -----------------                           
|            2                  2                                
|      -1 + w             -1 + w              w                  
|------------------------------------- + ------------  otherwise 
|                  pi                       /      2\            
\                                        pi*\-1 + w /            
$$\begin{cases} \frac{\cos^{2}{\left(\frac{l}{2} \right)}}{2 \pi} - \frac{1}{2 \pi} & \text{for}\: w = -1 \\- \frac{\cos^{2}{\left(\frac{l}{2} \right)}}{2 \pi} + \frac{1}{2 \pi} & \text{for}\: w = 1 \\\frac{w}{\pi \left(w^{2} - 1\right)} + \frac{- \frac{w \cos{\left(\frac{l}{2} \right)} \cos{\left(\frac{l w}{2} \right)}}{w^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(\frac{l}{2} \right)} \sin{\left(\frac{l w}{2} \right)}}{w^{2} - 1}}{\pi} & \text{otherwise} \end{cases}$$
=
=
/                              2/l\                              
|                           cos |-|                              
|                     1         \2/                              
|                  - ---- + -------                    for w = -1
|                    2*pi     2*pi                               
|                                                                
|                             2/l\                               
|                          cos |-|                               
|                    1         \2/                               
|                   ---- - -------                     for w = 1 
<                   2*pi     2*pi                                
|                                                                
|     /l\    /l*w\        /l\    /l*w\                           
|  sin|-|*sin|---|   w*cos|-|*cos|---|                           
|     \2/    \ 2 /        \2/    \ 2 /                           
|- --------------- - -----------------                           
|            2                  2                                
|      -1 + w             -1 + w              w                  
|------------------------------------- + ------------  otherwise 
|                  pi                       /      2\            
\                                        pi*\-1 + w /            
$$\begin{cases} \frac{\cos^{2}{\left(\frac{l}{2} \right)}}{2 \pi} - \frac{1}{2 \pi} & \text{for}\: w = -1 \\- \frac{\cos^{2}{\left(\frac{l}{2} \right)}}{2 \pi} + \frac{1}{2 \pi} & \text{for}\: w = 1 \\\frac{w}{\pi \left(w^{2} - 1\right)} + \frac{- \frac{w \cos{\left(\frac{l}{2} \right)} \cos{\left(\frac{l w}{2} \right)}}{w^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(\frac{l}{2} \right)} \sin{\left(\frac{l w}{2} \right)}}{w^{2} - 1}}{\pi} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((-1/(2*pi) + cos(l/2)^2/(2*pi), w = -1), (1/(2*pi) - cos(l/2)^2/(2*pi), w = 1), ((-sin(l/2)*sin(l*w/2)/(-1 + w^2) - w*cos(l/2)*cos(l*w/2)/(-1 + w^2))/pi + w/(pi*(-1 + w^2)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.