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Resolución de integrales/ (2(arccos((1/2)*x)-1)^(2)-1)/sqrt(-x^(2)+4)

Integral de (2(arccos((1/2)*x)-1)^(2)-1)/sqrt(-x^(2)+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |                 2       
 |    /    /x\    \        
 |  2*|acos|-| - 1|  - 1   
 |    \    \2/    /        
 |  -------------------- dx
 |        __________       
 |       /    2            
 |     \/  - x  + 4        
 |                         
/                          
0
∫012(acos⁡(x2)−1)2−14−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx 
Integral((2*(acos(x/2) - 1)^2 - 1)/sqrt(-x^2 + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=acos⁡(x2)−1u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1.

      Luego que du=−dx21−x24du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} y ponemos dudu:

      ∫(1−2u2) du\int \left(1 - 2 u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2u2) du=−2∫u2 du\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2u33- \frac{2 u^{3}}{3}

        El resultado es: −2u33+u- \frac{2 u^{3}}{3} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2(acos⁡(x2)−1)33+acos⁡(x2)−1- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2(acos⁡(x2)−1)2−14−x2=2acos⁡2(x2)−4acos⁡(x2)+14−x2\frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}

    2. que u=acos⁡(x2)u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Luego que du=−dx21−x24du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} y ponemos dudu:

      ∫(−2u2+4u−1) du\int \left(- 2 u^{2} + 4 u - 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2u2) du=−2∫u2 du\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2u33- \frac{2 u^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u du=4∫u du\int 4 u\, du = 4 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u22 u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

        El resultado es: −2u33+2u2−u- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u^{2} - u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2acos⁡3(x2)3+2acos⁡2(x2)−acos⁡(x2)- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2(acos⁡(x2)−1)2−14−x2=2acos⁡2(x2)4−x2−4acos⁡(x2)4−x2+14−x2\frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2acos⁡2(x2)4−x2 dx=2∫acos⁡2(x2)4−x2 dx\int \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=acos⁡(x2)u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Luego que du=−dx21−x24du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −acos⁡3(x2)3- \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2acos⁡3(x2)3- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4acos⁡(x2)4−x2) dx=−4∫acos⁡(x2)4−x2 dx\int \left(- \frac{4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=acos⁡(x2)u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Luego que du=−dx21−x24du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −acos⁡2(x2)2- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2acos⁡2(x2)2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14−x2 dx=∫11−x24 dx2\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{2}

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫41−u2 du\int \frac{4}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2asin⁡(x2)2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(x2)\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −2acos⁡3(x2)3+2acos⁡2(x2)+asin⁡(x2)- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −2(acos⁡(x2)−1)33+acos⁡(x2)−1- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2(acos⁡(x2)−1)33+acos⁡(x2)−1+constant- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2(acos⁡(x2)−1)33+acos⁡(x2)−1+constant- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                                                              
 |                2                                  3          
 |   /    /x\    \                      /    /x\    \           
 | 2*|acos|-| - 1|  - 1               2*|acos|-| - 1|           
 |   \    \2/    /                      \    \2/    /        /x\
 | -------------------- dx = -1 + C - ---------------- + acos|-|
 |       __________                          3               \2/
 |      /    2                                                  
 |    \/  - x  + 4                                              
 |                                                              
/
∫2(acos⁡(x2)−1)2−14−x2 dx=C−2(acos⁡(x2)−1)33+acos⁡(x2)−1\int \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = C - \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      2             3
  5*pi    pi   19*pi 
- ----- + -- + ------
    18    6     324
−5π218+π6+19π3324- \frac{5 \pi^{2}}{18} + \frac{\pi}{6} + \frac{19 \pi^{3}}{324} 
=
= 
      2             3
  5*pi    pi   19*pi 
- ----- + -- + ------
    18    6     324
−5π218+π6+19π3324- \frac{5 \pi^{2}}{18} + \frac{\pi}{6} + \frac{19 \pi^{3}}{324} 
-5*pi^2/18 + pi/6 + 19*pi^3/324
Respuesta numérica [src] 
-0.399688690983015
-0.399688690983015

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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