Integral de (2(arccos((1/2)*x)-1)^(2)-1)/sqrt(-x^(2)+4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(1 - 2 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

   2. que $u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{2} + 4 u - 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         El resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u^{2} - u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{2} - 1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{4}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

               ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      El resultado es: $- \frac{2 \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(\operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1+ \mathrm{constant}$