Integral de s(x+1)*cosx*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $s \left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} = s x \cos{\left(x \right)} + s \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int s x \cos{\left(x \right)}\, dx = s \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $s \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int s \cos{\left(x \right)}\, dx = s \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $s \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $s \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + s \sin{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = s \left(x + 1\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = s$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int s \sin{\left(x \right)}\, dx = s \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- s \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $s \left(x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $s \left(x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$s \left(x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$