Integral de exp(x)*dx/(7*exp(x)+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{7 u + 3}\, du$

      1. que $u = 7 u + 3$.

         Luego que $du = 7 du$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{1}{7 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{7}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(7 u + 3 \right)}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(7 e^{x} + 3 \right)}}{7}$

   Método #2

   1. que $u = 7 e^{x} + 3$.

      Luego que $du = 7 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{1}{7 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{7}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(7 e^{x} + 3 \right)}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(7 e^{x} + 3 \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(7 e^{x} + 3 \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$