Integral de cos(x)*e^(1-sin(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{1 - \sin{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{1 - \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} = e e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = - \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- \sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e e^{- \sin{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{1 - \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} = e e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = - \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- \sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e e^{- \sin{\left(x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- e^{1 - \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- e^{1 - \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$