Integral de (x^2+sqrtx)/sqrt^3(x) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{2 u^{3} + 2}{u}\, du$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 u^{3}$.

         Luego que $du = 6 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u + 2}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 2}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 2}{u}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 2}{u} = 1 + \frac{2}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{2 \log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 u^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(2 u^{3} \right)}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{3} + 2}{u} = 2 u^{2} + \frac{2}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 2 \log{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \log{\left(2 x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \log{\left(2 x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \log{\left(2 x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$