Integral de (x+3)*dx/sqrt(x-4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x - 4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 4}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{2} + 14\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 14\, du = 14 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 14 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 14 \sqrt{x - 4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 4}} = \frac{x}{\sqrt{x - 4}} + \frac{3}{\sqrt{x - 4}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x - 4}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(4 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 32 + \frac{8}{u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(4 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(4 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(4 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 16 + \frac{8}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 16\, du = 16 u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{8}{u^{2}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $16 u - \frac{8}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(4 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{16 u^{4} + 8 u^{2} + 1}{u^{4}}$

                  2. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{16 u^{4} + 8 u^{2} + 1}{u^{4}} = 16 + \frac{8}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  3. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 16\, du = 16 u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{8}{u^{2}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $16 u - \frac{8}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 32 u + \frac{16}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 32\, du = 32 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{u^{2}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{u}$

            El resultado es: $\frac{8}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x - 4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{\sqrt{x - 4}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{x - 4}}\, dx$

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{x - 4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \sqrt{x - 4}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 14 \sqrt{x - 4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x - 4} \left(x + 17\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x - 4} \left(x + 17\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x - 4} \left(x + 17\right)}{3}+ \mathrm{constant}$