Integral de (1+3*sinx)*cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$