Integral de 13/pi*sqrt(16-x^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{13}{\pi} \sqrt{16 - x^{2}}\, dx = \frac{13 \int \sqrt{16 - x^{2}}\, dx}{\pi}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=sqrt(16 - x**2), symbol=x)

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{13 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}\right)}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{13 \left(x \sqrt{16 - x^{2}} + 16 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{13 \left(x \sqrt{16 - x^{2}} + 16 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{13 \left(x \sqrt{16 - x^{2}} + 16 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$