Integral de sinx(1+cosx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)} + 1$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$