Integral de sin(3*(sqrt(x)+1))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 \left(\sqrt{x} + 1\right)$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{2 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \cos{\left(3 \left(\sqrt{x} + 1\right) \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \sin{\left(3 u + 3 \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(3 u + 3 \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(3 u + 3 \right)}\, du$

         1. que $u = 3 u + 3$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(3 u + 3 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos{\left(3 u + 3 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \cos{\left(3 \sqrt{x} + 3 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \cos{\left(3 \sqrt{x} + 3 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \cos{\left(3 \sqrt{x} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \cos{\left(3 \sqrt{x} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$