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Resolución de integrales/ cos(t)/ cos(n*t)/ a*cos(t)*cos(n*t)/(2*pi)

Integral de a*cos(t)*cos(n*t)/(2*pi) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                     
  /                     
 |                      
 |  a*cos(t)*cos(n*t)   
 |  ----------------- dt
 |         2*pi         
 |                      
/                       
-pi
∫−ππacos⁡(t)cos⁡(nt)2π dt\int\limits_{- \pi}^{\pi} \frac{a \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{2 \pi}\, dt 
Integral(((a*cos(t))*cos(n*t))/((2*pi)), (t, -pi, pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫acos⁡(t)cos⁡(nt)2π dt=12π∫acos⁡(t)cos⁡(nt) dt\int \frac{a \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{2 \pi}\, dt = \frac{1}{2 \pi} \int a \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\, dt

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫acos⁡(t)cos⁡(nt) dt=a∫cos⁡(t)cos⁡(nt) dt\int a \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\, dt = a \int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\, dt

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {tsin⁡2(t)2+tcos⁡2(t)2+sin⁡(t)cos⁡(t)2for n=−1∨n=1nsin⁡(nt)cos⁡(t)n2−1−sin⁡(t)cos⁡(nt)n2−1otherwese\begin{cases} \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)}}{n^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{n^{2} - 1} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: a({tsin⁡2(t)2+tcos⁡2(t)2+sin⁡(t)cos⁡(t)2for n=−1∨n=1nsin⁡(nt)cos⁡(t)n2−1−sin⁡(t)cos⁡(nt)n2−1otherwese)a \left(\begin{cases} \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)}}{n^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{n^{2} - 1} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

    Por lo tanto, el resultado es: 12πa({tsin⁡2(t)2+tcos⁡2(t)2+sin⁡(t)cos⁡(t)2for n=−1∨n=1nsin⁡(nt)cos⁡(t)n2−1−sin⁡(t)cos⁡(nt)n2−1otherwese)\frac{1}{2 \pi} a \left(\begin{cases} \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)}}{n^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{n^{2} - 1} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {a(2t+sin⁡(2t))8πfor n=−1∨n=1a(nsin⁡(nt)cos⁡(t)−sin⁡(t)cos⁡(nt))2π(n2−1)otherwese\begin{cases} \frac{a \left(2 t + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{8 \pi} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{a \left(n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)} - \sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\right)}{2 \pi \left(n^{2} - 1\right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {a(2t+sin⁡(2t))8πfor n=−1∨n=1a(nsin⁡(nt)cos⁡(t)−sin⁡(t)cos⁡(nt))2π(n2−1)otherwese+constant\begin{cases} \frac{a \left(2 t + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{8 \pi} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{a \left(n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)} - \sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\right)}{2 \pi \left(n^{2} - 1\right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{a(2t+sin⁡(2t))8πfor n=−1∨n=1a(nsin⁡(nt)cos⁡(t)−sin⁡(t)cos⁡(nt))2π(n2−1)otherwese+constant\begin{cases} \frac{a \left(2 t + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{8 \pi} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{a \left(n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)} - \sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}\right)}{2 \pi \left(n^{2} - 1\right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                     //     2           2                                          \
  /                                  ||t*cos (t)   t*sin (t)   cos(t)*sin(t)                       |
 |                                   ||--------- + --------- + -------------  for Or(n = -1, n = 1)|
 | a*cos(t)*cos(n*t)             1   ||    2           2             2                             |
 | ----------------- dt = C + a*----*|<                                                            |
 |        2*pi                  2*pi ||  cos(n*t)*sin(t)   n*cos(t)*sin(n*t)                       |
 |                                   ||- --------------- + -----------------        otherwise      |
/                                    ||            2                  2                            |
                                     \\      -1 + n             -1 + n                             /
∫acos⁡(t)cos⁡(nt)2π dt=C+12πa({tsin⁡2(t)2+tcos⁡2(t)2+sin⁡(t)cos⁡(t)2for n=−1∨n=1nsin⁡(nt)cos⁡(t)n2−1−sin⁡(t)cos⁡(nt)n2−1otherwise)\int \frac{a \cos{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{2 \pi}\, dt = C + \frac{1}{2 \pi} a \left(\begin{cases} \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\\frac{n \sin{\left(n t \right)} \cos{\left(t \right)}}{n^{2} - 1} - \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(n t \right)}}{n^{2} - 1} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
/       a                              
|       -         for Or(n = -1, n = 1)
|       2                              
|                                      
<-a*n*sin(pi*n)                        
|---------------        otherwise      
|     /      2\                        
|  pi*\-1 + n /                        
\
{a2for n=−1∨n=1−ansin⁡(πn)π(n2−1)otherwise\begin{cases} \frac{a}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\- \frac{a n \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi \left(n^{2} - 1\right)} & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/       a                              
|       -         for Or(n = -1, n = 1)
|       2                              
|                                      
<-a*n*sin(pi*n)                        
|---------------        otherwise      
|     /      2\                        
|  pi*\-1 + n /                        
\
{a2for n=−1∨n=1−ansin⁡(πn)π(n2−1)otherwise\begin{cases} \frac{a}{2} & \text{for}\: n = -1 \vee n = 1 \\- \frac{a n \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi \left(n^{2} - 1\right)} & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((a/2, (n = -1)∨(n = 1)), (-a*n*sin(pi*n)/(pi*(-1 + n^2)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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