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Resolución de integrales/ x+sinx/ 2/(cosx+sinx)^2

Integral de 2/(cosx+sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                      
 --                      
 4                       
  /                      
 |                       
 |          2            
 |  ------------------ dx
 |                   2   
 |  (cos(x) + sin(x))    
 |                       
/                        
0
∫0π42(sin⁡(x)+cos⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx 
Integral(2/(cos(x) + sin(x))^2, (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2 dx=2∫1(sin⁡(x)+cos⁡(x))2 dx\int \frac{2}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      −2tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−2tan⁡(x2)−1- \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

    Por lo tanto, el resultado es: −4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−2tan⁡(x2)−1- \frac{4 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

  2. Ahora simplificar:

    2sin⁡(x)sin⁡(x+π4)\frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2sin⁡(x)sin⁡(x+π4)+constant\frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2sin⁡(x)sin⁡(x+π4)+constant\frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         /x\       
 |                                     4*tan|-|       
 |         2                                \2/       
 | ------------------ dx = C - -----------------------
 |                  2                  2/x\        /x\
 | (cos(x) + sin(x))           -1 + tan |-| - 2*tan|-|
 |                                      \2/        \2/
/
∫2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2 dx=C−4tan⁡(x2)tan⁡2(x2)−2tan⁡(x2)−1\int \frac{2}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx = C - \frac{4 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.7504
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         /       ___\      
      -4*\-1 + \/ 2 /      
---------------------------
                2          
    /       ___\        ___
1 + \-1 + \/ 2 /  - 2*\/ 2
−4(−1+2)−22+(−1+2)2+1- \frac{4 \left(-1 + \sqrt{2}\right)}{- 2 \sqrt{2} + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} + 1} 
=
= 
         /       ___\      
      -4*\-1 + \/ 2 /      
---------------------------
                2          
    /       ___\        ___
1 + \-1 + \/ 2 /  - 2*\/ 2
−4(−1+2)−22+(−1+2)2+1- \frac{4 \left(-1 + \sqrt{2}\right)}{- 2 \sqrt{2} + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} + 1} 
-4*(-1 + sqrt(2))/(1 + (-1 + sqrt(2))^2 - 2*sqrt(2))
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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