Integral de 2*(sin(pi*x))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \sin^{2}{\left(\pi x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(\pi x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 \pi x$.

            Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$

   Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$