Integral de cos(10x)*exp(x) dx

1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

   1. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(10 x \right)}$:

      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(10 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(10 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(10 x \right)} - \int \left(- 10 e^{x} \sin{\left(10 x \right)}\right)\, dx$.

   2. Para el integrando $- 10 e^{x} \sin{\left(10 x \right)}$:

      que $u{\left(x \right)} = - 10 \sin{\left(10 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(10 x \right)}\, dx = 10 e^{x} \sin{\left(10 x \right)} + e^{x} \cos{\left(10 x \right)} + \int \left(- 100 e^{x} \cos{\left(10 x \right)}\right)\, dx$.

   3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

      $101 \int e^{x} \cos{\left(10 x \right)}\, dx = 10 e^{x} \sin{\left(10 x \right)} + e^{x} \cos{\left(10 x \right)}$

      Por lo tanto,

      $\int e^{x} \cos{\left(10 x \right)}\, dx = \frac{10 e^{x} \sin{\left(10 x \right)}}{101} + \frac{e^{x} \cos{\left(10 x \right)}}{101}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(10 \sin{\left(10 x \right)} + \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{x}}{101}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(10 \sin{\left(10 x \right)} + \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{x}}{101}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(10 \sin{\left(10 x \right)} + \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{x}}{101}+ \mathrm{constant}$