Integral de tg^32x*dx/sin^22x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}} = \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\, du = - \int \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}} = \frac{1}{u^{12}} + \frac{10}{u^{14}} + \frac{45}{u^{16}} + \frac{120}{u^{18}} + \frac{210}{u^{20}} + \frac{252}{u^{22}} + \frac{210}{u^{24}} + \frac{120}{u^{26}} + \frac{45}{u^{28}} + \frac{10}{u^{30}} + \frac{1}{u^{32}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{10}{u^{14}}\, du = 10 \int \frac{1}{u^{14}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \frac{1}{13 u^{13}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{13 u^{13}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{45}{u^{16}}\, du = 45 \int \frac{1}{u^{16}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{16}}\, du = - \frac{1}{15 u^{15}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u^{15}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{120}{u^{18}}\, du = 120 \int \frac{1}{u^{18}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{18}}\, du = - \frac{1}{17 u^{17}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{120}{17 u^{17}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{210}{u^{20}}\, du = 210 \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{210}{19 u^{19}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{252}{u^{22}}\, du = 252 \int \frac{1}{u^{22}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{22}}\, du = - \frac{1}{21 u^{21}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u^{21}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{210}{u^{24}}\, du = 210 \int \frac{1}{u^{24}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - \frac{1}{23 u^{23}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{210}{23 u^{23}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{120}{u^{26}}\, du = 120 \int \frac{1}{u^{26}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{26}}\, du = - \frac{1}{25 u^{25}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24}{5 u^{25}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{45}{u^{28}}\, du = 45 \int \frac{1}{u^{28}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{28}}\, du = - \frac{1}{27 u^{27}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{3 u^{27}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{10}{u^{30}}\, du = 10 \int \frac{1}{u^{30}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{30}}\, du = - \frac{1}{29 u^{29}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{29 u^{29}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{32}}\, du = - \frac{1}{31 u^{31}}$

            El resultado es: $- \frac{1}{11 u^{11}} - \frac{10}{13 u^{13}} - \frac{3}{u^{15}} - \frac{120}{17 u^{17}} - \frac{210}{19 u^{19}} - \frac{12}{u^{21}} - \frac{210}{23 u^{23}} - \frac{24}{5 u^{25}} - \frac{5}{3 u^{27}} - \frac{10}{29 u^{29}} - \frac{1}{31 u^{31}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{11 u^{11}} + \frac{10}{13 u^{13}} + \frac{3}{u^{15}} + \frac{120}{17 u^{17}} + \frac{210}{19 u^{19}} + \frac{12}{u^{21}} + \frac{210}{23 u^{23}} + \frac{24}{5 u^{25}} + \frac{5}{3 u^{27}} + \frac{10}{29 u^{29}} + \frac{1}{31 u^{31}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{1}{11 \cot^{11}{\left(x \right)}} + \frac{10}{13 \cot^{13}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\cot^{15}{\left(x \right)}} + \frac{120}{17 \cot^{17}{\left(x \right)}} + \frac{210}{19 \cot^{19}{\left(x \right)}} + \frac{12}{\cot^{21}{\left(x \right)}} + \frac{210}{23 \cot^{23}{\left(x \right)}} + \frac{24}{5 \cot^{25}{\left(x \right)}} + \frac{5}{3 \cot^{27}{\left(x \right)}} + \frac{10}{29 \cot^{29}{\left(x \right)}} + \frac{1}{31 \cot^{31}{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}} = \frac{\cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 252 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}}$

   2. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\, du = - \int \frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{20} + 10 u^{18} + 45 u^{16} + 120 u^{14} + 210 u^{12} + 252 u^{10} + 210 u^{8} + 120 u^{6} + 45 u^{4} + 10 u^{2} + 1}{u^{32}} = \frac{1}{u^{12}} + \frac{10}{u^{14}} + \frac{45}{u^{16}} + \frac{120}{u^{18}} + \frac{210}{u^{20}} + \frac{252}{u^{22}} + \frac{210}{u^{24}} + \frac{120}{u^{26}} + \frac{45}{u^{28}} + \frac{10}{u^{30}} + \frac{1}{u^{32}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{10}{u^{14}}\, du = 10 \int \frac{1}{u^{14}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \frac{1}{13 u^{13}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{13 u^{13}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{45}{u^{16}}\, du = 45 \int \frac{1}{u^{16}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{16}}\, du = - \frac{1}{15 u^{15}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u^{15}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{120}{u^{18}}\, du = 120 \int \frac{1}{u^{18}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{18}}\, du = - \frac{1}{17 u^{17}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{120}{17 u^{17}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{210}{u^{20}}\, du = 210 \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{210}{19 u^{19}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{252}{u^{22}}\, du = 252 \int \frac{1}{u^{22}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{22}}\, du = - \frac{1}{21 u^{21}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u^{21}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{210}{u^{24}}\, du = 210 \int \frac{1}{u^{24}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - \frac{1}{23 u^{23}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{210}{23 u^{23}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{120}{u^{26}}\, du = 120 \int \frac{1}{u^{26}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{26}}\, du = - \frac{1}{25 u^{25}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24}{5 u^{25}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{45}{u^{28}}\, du = 45 \int \frac{1}{u^{28}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{28}}\, du = - \frac{1}{27 u^{27}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{3 u^{27}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{10}{u^{30}}\, du = 10 \int \frac{1}{u^{30}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{30}}\, du = - \frac{1}{29 u^{29}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{29 u^{29}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{32}}\, du = - \frac{1}{31 u^{31}}$

            El resultado es: $- \frac{1}{11 u^{11}} - \frac{10}{13 u^{13}} - \frac{3}{u^{15}} - \frac{120}{17 u^{17}} - \frac{210}{19 u^{19}} - \frac{12}{u^{21}} - \frac{210}{23 u^{23}} - \frac{24}{5 u^{25}} - \frac{5}{3 u^{27}} - \frac{10}{29 u^{29}} - \frac{1}{31 u^{31}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{11 u^{11}} + \frac{10}{13 u^{13}} + \frac{3}{u^{15}} + \frac{120}{17 u^{17}} + \frac{210}{19 u^{19}} + \frac{12}{u^{21}} + \frac{210}{23 u^{23}} + \frac{24}{5 u^{25}} + \frac{5}{3 u^{27}} + \frac{10}{29 u^{29}} + \frac{1}{31 u^{31}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{1}{11 \cot^{11}{\left(x \right)}} + \frac{10}{13 \cot^{13}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\cot^{15}{\left(x \right)}} + \frac{120}{17 \cot^{17}{\left(x \right)}} + \frac{210}{19 \cot^{19}{\left(x \right)}} + \frac{12}{\cot^{21}{\left(x \right)}} + \frac{210}{23 \cot^{23}{\left(x \right)}} + \frac{24}{5 \cot^{25}{\left(x \right)}} + \frac{5}{3 \cot^{27}{\left(x \right)}} + \frac{10}{29 \cot^{29}{\left(x \right)}} + \frac{1}{31 \cot^{31}{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}} = \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{12}{\left(x \right)}} + \frac{10 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{14}{\left(x \right)}} + \frac{45 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{16}{\left(x \right)}} + \frac{120 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{18}{\left(x \right)}} + \frac{210 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{20}{\left(x \right)}} + \frac{252 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{22}{\left(x \right)}} + \frac{210 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{24}{\left(x \right)}} + \frac{120 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{26}{\left(x \right)}} + \frac{45 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{28}{\left(x \right)}} + \frac{10 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{30}{\left(x \right)}} + \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{32}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{12}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \int \frac{1}{u^{12}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{11 u^{11}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{11 \cot^{11}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{14}{\left(x \right)}}\, dx = 10 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{14}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{14}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \int \frac{1}{u^{14}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \frac{1}{13 u^{13}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{13 u^{13}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{13 \cot^{13}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10}{13 \cot^{13}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{45 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{16}{\left(x \right)}}\, dx = 45 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{16}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{16}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{16}}\, du = - \int \frac{1}{u^{16}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{16}}\, du = - \frac{1}{15 u^{15}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{15 u^{15}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{15 \cot^{15}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{\cot^{15}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{120 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{18}{\left(x \right)}}\, dx = 120 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{18}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{18}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{18}}\, du = - \int \frac{1}{u^{18}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{18}}\, du = - \frac{1}{17 u^{17}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{17 u^{17}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{17 \cot^{17}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{120}{17 \cot^{17}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{210 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{20}{\left(x \right)}}\, dx = 210 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{20}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{20}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{19 u^{19}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{19 \cot^{19}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{210}{19 \cot^{19}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{252 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{22}{\left(x \right)}}\, dx = 252 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{22}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{22}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{22}}\, du = - \int \frac{1}{u^{22}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{22}}\, du = - \frac{1}{21 u^{21}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{21 u^{21}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{21 \cot^{21}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{\cot^{21}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{210 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{24}{\left(x \right)}}\, dx = 210 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{24}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{24}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - \int \frac{1}{u^{24}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - \frac{1}{23 u^{23}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{23 u^{23}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{23 \cot^{23}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{210}{23 \cot^{23}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{120 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{26}{\left(x \right)}}\, dx = 120 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{26}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{26}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{26}}\, du = - \int \frac{1}{u^{26}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{26}}\, du = - \frac{1}{25 u^{25}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{25 u^{25}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{25 \cot^{25}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24}{5 \cot^{25}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{45 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{28}{\left(x \right)}}\, dx = 45 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{28}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{28}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{28}}\, du = - \int \frac{1}{u^{28}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{28}}\, du = - \frac{1}{27 u^{27}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{27 u^{27}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{27 \cot^{27}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{3 \cot^{27}{\left(x \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 \csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{30}{\left(x \right)}}\, dx = 10 \int \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{30}{\left(x \right)}}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{30}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{30}}\, du = - \int \frac{1}{u^{30}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{30}}\, du = - \frac{1}{29 u^{29}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{29 u^{29}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{29 \cot^{29}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10}{29 \cot^{29}{\left(x \right)}}$

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{32}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{32}}\, du = - \int \frac{1}{u^{32}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{32}}\, du = - \frac{1}{31 u^{31}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{31 u^{31}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{31 \cot^{31}{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $\frac{1}{11 \cot^{11}{\left(x \right)}} + \frac{10}{13 \cot^{13}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\cot^{15}{\left(x \right)}} + \frac{120}{17 \cot^{17}{\left(x \right)}} + \frac{210}{19 \cot^{19}{\left(x \right)}} + \frac{12}{\cot^{21}{\left(x \right)}} + \frac{210}{23 \cot^{23}{\left(x \right)}} + \frac{24}{5 \cot^{25}{\left(x \right)}} + \frac{5}{3 \cot^{27}{\left(x \right)}} + \frac{10}{29 \cot^{29}{\left(x \right)}} + \frac{1}{31 \cot^{31}{\left(x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(462120945 \tan^{20}{\left(x \right)} + 4939913550 \tan^{18}{\left(x \right)} + 23876248825 \tan^{16}{\left(x \right)} + 68763596616 \tan^{14}{\left(x \right)} + 130800319650 \tan^{12}{\left(x \right)} + 171908991540 \tan^{10}{\left(x \right)} + 158337229050 \tan^{8}{\left(x \right)} + 101122936200 \tan^{6}{\left(x \right)} + 42977247885 \tan^{4}{\left(x \right)} + 11019807150 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1302340845\right) \tan^{11}{\left(x \right)}}{14325749295}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(462120945 \tan^{20}{\left(x \right)} + 4939913550 \tan^{18}{\left(x \right)} + 23876248825 \tan^{16}{\left(x \right)} + 68763596616 \tan^{14}{\left(x \right)} + 130800319650 \tan^{12}{\left(x \right)} + 171908991540 \tan^{10}{\left(x \right)} + 158337229050 \tan^{8}{\left(x \right)} + 101122936200 \tan^{6}{\left(x \right)} + 42977247885 \tan^{4}{\left(x \right)} + 11019807150 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1302340845\right) \tan^{11}{\left(x \right)}}{14325749295}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(462120945 \tan^{20}{\left(x \right)} + 4939913550 \tan^{18}{\left(x \right)} + 23876248825 \tan^{16}{\left(x \right)} + 68763596616 \tan^{14}{\left(x \right)} + 130800319650 \tan^{12}{\left(x \right)} + 171908991540 \tan^{10}{\left(x \right)} + 158337229050 \tan^{8}{\left(x \right)} + 101122936200 \tan^{6}{\left(x \right)} + 42977247885 \tan^{4}{\left(x \right)} + 11019807150 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1302340845\right) \tan^{11}{\left(x \right)}}{14325749295}+ \mathrm{constant}$