Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \sqrt{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(1 - 2 x^{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \sqrt{x} \right)}}{\log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}} \left(9 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)