Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}} = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{1}{\sin{\left(\frac{3}{n} \right)} \cos{\left(\frac{3}{n} \right)}}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{n} \right)} \cos{\left(\frac{3}{n} \right)}}{\log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{3}{n} \right)} \cos{\left(\frac{3}{n} \right)}}{\log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sin{\left(\frac{3}{n} \right)} \cos{\left(\frac{3}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \frac{- \frac{n^{2}}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{n}{n - 1} - \frac{1}{n - 1}}{n \left(- \frac{3}{n^{2} \cos^{2}{\left(\frac{3}{n} \right)}} + \frac{3}{n^{2} \sin^{2}{\left(\frac{3}{n} \right)}}\right) \log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \frac{- \frac{n^{2}}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{n}{n - 1} - \frac{1}{n - 1}}{n \left(- \frac{3}{n^{2} \cos^{2}{\left(\frac{3}{n} \right)}} + \frac{3}{n^{2} \sin^{2}{\left(\frac{3}{n} \right)}}\right) \log{\left(\frac{n}{n - 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)