Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(2 - x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 - x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 - x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(2 - x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi \left(x - 2\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)