Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(x - 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sin{\left(x - 1 \right)} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sin{\left(x - 1 \right)} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x - 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{2 \cos{\left(x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{2 \cos{\left(x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$- \frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)