Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(1 - 2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 - 2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 - 2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - 2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{4} + 1\right) \left(5 \log{\left(1 - 2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{1 - 2 x}\right)}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(1 - 2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{1 - 2 x}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \log{\left(1 - 2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{1 - 2 x}}{2 x}\right)$$
=
$$-10$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)