Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- asin(pi*x/ dos)/x
- ar coseno de eno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por x
- ar coseno de eno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por x
- asin(pix/2)/x
- asinpix/2/x
- asin(pi*x dividir por 2) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- arcsin(pi*x/2)/x
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(1/n)
- asin(x)^sin(x)
- asin(2*x)/(-1+2^(-3*x))
- asin(x)+sin(x)
- asin(x)/(2*x)
- Número Pi pi
- pi*cos(x)/3
- Piecewise((-1-x,x<-1),((1+x)^2,x<=1),(x,True))
- pi-2*asin(x/5)
- pi*x*tan(3)^2*sin(5*pi*x)*tan(2*pi*x)/cos(7*pi*x)
- pi/(2*x*(1+x)*(2+x))
Límite de la función asin(pi*x/2)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ /pi*x\\
|asin|----||
| \ 2 /|
lim |----------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Limit(asin((pi*x)/2)/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$$
$$x = \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{\pi}{2} \sin{\left(u \right)}}{\frac{1}{2} \pi} \right)}}{\frac{1}{\frac{1}{2} \pi} \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi}{2} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\pi u}{2 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2} \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$$
$$x = \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\frac{\pi}{2} \sin{\left(u \right)}}{\frac{1}{2} \pi} \right)}}{\frac{1}{\frac{1}{2} \pi} \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi}{2} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\pi u}{2 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2} \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$
/sin(u)\
= pi/2 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{- \frac{\pi^{2} x^{2}}{4} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{- \frac{\pi^{2} x^{2}}{4} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /pi*x\\
|asin|----||
| \ 2 /|
lim |----------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
= 1.5707963267949
/ /pi*x\\
|asin|----||
| \ 2 /|
lim |----------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
= 1.5707963267949
= 1.5707963267949
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Más detalles con x→-oo