Sr Examen

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Límite de la función/ -pi/2/ cot(2*x)/ (2*x-pi/2+acot(2*x))/x^3

Límite de la función (2*x-pi/2+acot(2*x))/x^3

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /      pi            \
     |2*x - -- + acot(2*x)|
     |      2             |
 lim |--------------------|
x->0+|          3         |
     \         x          /
lim⁡x→0+((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) 
Limit((2*x - pi/2 + acot(2*x))/x^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(4x+2acot⁡(2x)−π)=0\lim_{x \to 0^+}\left(4 x + 2 \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} - \pi\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(2x3)=0\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{3}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(4x+2acot⁡(2x)−π2x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + 2 \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} - \pi}{2 x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(4x+2acot⁡(2x)−π)ddx2x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x + 2 \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} - \pi\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(4−44x2+16x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 - \frac{4}{4 x^{2} + 1}}{6 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(4−44x2+1)ddx6x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 - \frac{4}{4 x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(83(4x2+1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{3 \left(4 x^{2} + 1\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+83\lim_{x \to 0^+} \frac{8}{3}
=
lim⁡x→0+83\lim_{x \to 0^+} \frac{8}{3}
=
83\frac{8}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-101005000
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /      pi            \
     |2*x - -- + acot(2*x)|
     |      2             |
 lim |--------------------|
x->0+|          3         |
     \         x          /
lim⁡x→0+((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) 
8/3
83\frac{8}{3} 
= 2.66666666666667
     /      pi            \
     |2*x - -- + acot(2*x)|
     |      2             |
 lim |--------------------|
x->0-|          3         |
     \         x          /
lim⁡x→0−((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) 
oo
∞\infty 
= 10816352.2346556
= 10816352.2346556
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=83\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{8}{3}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=83\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{8}{3}
lim⁡x→∞((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=−π2+acot⁡(2)+2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 \right)} + 2
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=−π2+acot⁡(2)+2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 \right)} + 2
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞((2x−π2)+acot⁡(2x)x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x - \frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
8/3
83\frac{8}{3}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
2.66666666666667
2.66666666666667
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