Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \cot{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{\cot{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)