Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\pi - 2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\pi - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\pi - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)