Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5 \cos{\left(x \right)} - 5\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(x \right)} - 5}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 \cos{\left(x \right)} - 5\right)}{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{5 \sin{\left(x \right)}}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5}{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5}{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$- \frac{5}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)