Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de 0^x
- Límite de (e^(a*x)-e^(b*x))/x
-
Límite de (-1+e^(3*x)-3*x)/sin(5*x)^2
- Límite de (a^x-a^sin(x))/x^3
-
Expresiones idénticas
- tan(x/ dos)^ dos *cos(x)/log(uno - dos *x*sin(x))
- tangente de (x dividir por 2) al cuadrado multiplicar por coseno de (x) dividir por logaritmo de (1 menos 2 multiplicar por x multiplicar por seno de (x))
- tangente de (x dividir por dos) en el grado dos multiplicar por coseno de (x) dividir por logaritmo de (uno menos dos multiplicar por x multiplicar por seno de (x))
- tan(x/2)2*cos(x)/log(1-2*x*sin(x))
- tanx/22*cosx/log1-2*x*sinx
- tan(x/2)²*cos(x)/log(1-2*x*sin(x))
- tan(x/2) en el grado 2*cos(x)/log(1-2*x*sin(x))
- tan(x/2)^2cos(x)/log(1-2xsin(x))
- tan(x/2)2cos(x)/log(1-2xsin(x))
- tanx/22cosx/log1-2xsinx
- tanx/2^2cosx/log1-2xsinx
- tan(x dividir por 2)^2*cos(x) dividir por log(1-2*x*sin(x))
-
Expresiones semejantes
- tan(x/2)^2*cos(x)/log(1+2*x*sin(x))
- tan(x/2)^2*cosx/log(1-2*x*sinx)
-
Expresiones con funciones
- Tangente tan
- tan(1/(1+x^2))/(1-x)
- tan(x)/sin(x)^22
- tan(17*x)/sin(5*x)
- tan(2*x^3)
- tan(2*x)/sin(x)^3
- Coseno cos
- cos(2*x+pi/3)/sin(3*x)
- cos(x)^(1/log(sin(x)^2))
- cos(pi*x/2)*log(1-x)/log(10)
- cos(7*x)/(x*tan(x))
- cos(x)/sin(3*x)
- Logaritmo log
- log((1-cos(x))/sin(x))
- log(log(x+sqrt(1+x))/x)/x^2
- log(1+2*n)/(1+2*n)^2
- log(1+x)^2*log(2+x)^2*(1+x)/(-2+x)
- log(1+(10+x)^6*asin(10+x)^3)/(10+x)^6
- Seno sin
- sin(x)^2/x^6
- sin(29*x)/x
- sin(pi/(2*sqrt(n)))/sqrt(1+3*n)
- sin(53*x)^tan(44*x)
- sin(48*x)/cos(27*x/2)
Límite de la función tan(x/2)^2*cos(x)/log(1-2*x*sin(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2/x\ \
| tan |-|*cos(x) |
| \2/ |
lim |-------------------|
x->0+\log(1 - 2*x*sin(x))/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
Limit((tan(x/2)^2*cos(x))/log(1 - 2*x*sin(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2/x\ \
| tan |-|*cos(x) |
| \2/ |
lim |-------------------|
x->0+\log(1 - 2*x*sin(x))/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
-1/8
$$- \frac{1}{8}$$
= -0.125
/ 2/x\ \
| tan |-|*cos(x) |
| \2/ |
lim |-------------------|
x->0-\log(1 - 2*x*sin(x))/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
-1/8
$$- \frac{1}{8}$$
= -0.125
= -0.125
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = - \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = - \frac{1}{8}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = - \frac{1}{8}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)} + i \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo