Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)