Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- uno /sqrt(x)+log(cuatro *x/(uno +x))
- 1 dividir por raíz cuadrada de (x) más logaritmo de (4 multiplicar por x dividir por (1 más x))
- uno dividir por raíz cuadrada de (x) más logaritmo de (cuatro multiplicar por x dividir por (uno más x))
- 1/√(x)+log(4*x/(1+x))
- 1/sqrt(x)+log(4x/(1+x))
- 1/sqrtx+log4x/1+x
- 1 dividir por sqrt(x)+log(4*x dividir por (1+x))
-
Expresiones semejantes
- 1/sqrt(x)+log(4*x/(1-x))
- 1/sqrt(x)-log(4*x/(1+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(x)^(1/x)
- log(-1+x)
- log(1-7*x)/sin(pi*(7+x))
- log(1+x^2)
Límite de la función 1/sqrt(x)+log(4*x/(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 / 4*x \\
lim |----- + log|-----||
x->oo| ___ \1 + x/|
\\/ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
Limit(1/(sqrt(x)) + log((4*x)/(1 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + 1}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}\right)\right)$$
=
$$2 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + 1}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}\right)\right)$$
=
$$2 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2 \log{\left(2 \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2 \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \log{\left(2 \right)} + 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{4 x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2 \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo