Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sqrt{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)