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cos(nπ/2)/raiz(n}9

Suma de la serie cos(nπ/2)/raiz(n}9



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \        /n*pi\  
  \    cos|----|  
   \      \ 2  /  
   /   ---------*9
  /        ___    
 /       \/ n     
/____,            
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} 9 \frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}$$
Sum((cos((n*pi)/2)/sqrt(n))*9, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$9 \frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{9 \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \left|{\frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)}}}\right|}{\sqrt{n}}\right)$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo              
_____             
\    `            
 \          /pi*n\
  \    9*cos|----|
   \        \ 2  /
   /   -----------
  /         ___   
 /        \/ n    
/____,            
n = 1             
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9 \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\sqrt{n}}$$
Sum(9*cos(pi*n/2)/sqrt(n), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie cos(nπ/2)/raiz(n}9

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie