Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-3*sin(x)+cos(x))*exp(2*x)

Gráfico de la función y = (-3*sin(x)+cos(x))*exp(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                             2*x
f(x) = (-3*sin(x) + cos(x))*e
f(x)=(−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2xf{\left(x \right)} = \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} 
f = (-3*sin(x) + cos(x))*exp(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x=0\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.321750554396642x_{1} = 0.321750554396642
x2=−5.96143475278294x_{2} = -5.96143475278294
x3=−78.2180657853482x_{3} = -78.2180657853482
x4=−93.9260290532972x_{4} = -93.9260290532972
x5=−27.2878051068923x_{5} = -27.2878051068923
x6=−43.6605465958605x_{6} = -43.6605465958605
x7=−37.3773612886809x_{7} = -37.3773612886809
x8=−68.7932878245788x_{8} = -68.7932878245788
x9=−15.3862127135523x_{9} = -15.3862127135523
x10=−49.9437319030401x_{10} = -49.9437319030401
x11=−71.9348804781686x_{11} = -71.9348804781686
x12=−9.10302740637274x_{12} = -9.10302740637274
x13=−40.5189539422707x_{13} = -40.5189539422707
x14=−2.81984209919315x_{14} = -2.81984209919315
x15=−34.2357686350911x_{15} = -34.2357686350911
x16=−46.8021392494503x_{16} = -46.8021392494503
x17=12.8881211687558x_{17} = 12.8881211687558
x18=−100.209214360477x_{18} = -100.209214360477
x19=−81.359658438938x_{19} = -81.359658438938
x20=−56.2269172102196x_{20} = -56.2269172102196
x21=−84.5012510925278x_{21} = -84.5012510925278
x22=3.46334320798644x_{22} = 3.46334320798644
x23=−24.8109906743217x_{23} = -24.8109906743217
x24=−27.9525833279115x_{24} = -27.9525833279115
x25=−97.067621706887x_{25} = -97.067621706887
x26=−87.6428437461176x_{26} = -87.6428437461176
x27=−90.7844363997074x_{27} = -90.7844363997074
x28=6.60493586157623x_{28} = 6.60493586157623
x29=−31.0941759815013x_{29} = -31.0941759815013
x30=−21.6693980207319x_{30} = -21.6693980207319
x31=−75.0764731317584x_{31} = -75.0764731317584
x32=−59.3685098638094x_{32} = -59.3685098638094
x33=−65.651695170989x_{33} = -65.651695170989
x34=9.74652851516602x_{34} = 9.74652851516602
x35=−18.5278053671421x_{35} = -18.5278053671421
x36=−12.2446200599625x_{36} = -12.2446200599625
x37=−53.0853245566298x_{37} = -53.0853245566298
x38=−62.5101025173992x_{38} = -62.5101025173992
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-3*sin(x) + cos(x))*exp(2*x).
(−3sin⁡(0)+cos⁡(0))e0⋅2\left(- 3 \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right) e^{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x+(−sin⁡(x)−3cos⁡(x))e2x=02 \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} + \left(- \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(17)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
               ___  -2*atan(1/7) 
(-atan(1/7), \/ 2 *e            )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(17)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(17)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(17),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{7} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(13sin⁡(x)+9cos⁡(x))e2x=0- \left(13 \sin{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−10(13−9i)50)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \left(13 - 9 i\right)}{50} \right)}
x2=−ilog⁡(10(13−9i)50)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{10} \left(13 - 9 i\right)}{50} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(913)]∪[π−atan⁡(913),∞)\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{13} \right)}\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{13} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(913),π−atan⁡(913)]\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{13} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{13} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*sin(x) + cos(x))*exp(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2xx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x=(3sin⁡(x)+cos⁡(x))e−2x\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} = \left(3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}
- No
(−3sin⁡(x)+cos⁡(x))e2x=−(3sin⁡(x)+cos⁡(x))e−2x\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} = - \left(3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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