Integral de 2*(1/sqrt(2)*cos(x)+1/sqrt(2)*sin(x))*(-1/sqrt(2)*sin(x)) dx
Solución
Solución detallada
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
Vuelva a escribir el integrando:
− 1 2 sin ( x ) 2 ( sin ( x ) 2 + cos ( x ) 2 ) = − sin 2 ( x ) − sin ( x ) cos ( x ) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} − 2 1 sin ( x ) 2 ( 2 s i n ( x ) + 2 c o s ( x ) ) = − sin 2 ( x ) − sin ( x ) cos ( x )
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − sin 2 ( x ) ) d x = − ∫ sin 2 ( x ) d x \int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − sin 2 ( x ) ) d x = − ∫ sin 2 ( x ) d x
Vuelva a escribir el integrando:
sin 2 ( x ) = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} sin 2 ( x ) = 2 1 − 2 c o s ( 2 x )
Integramos término a término:
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 1 2 d x = x 2 \int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2} ∫ 2 1 d x = 2 x
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − cos ( 2 x ) 2 ) d x = − ∫ cos ( 2 x ) d x 2 \int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2} ∫ ( − 2 c o s ( 2 x ) ) d x = − 2 ∫ c o s ( 2 x ) d x
que u = 2 x u = 2 x u = 2 x .
Luego que d u = 2 d x du = 2 dx d u = 2 d x y ponemos d u 2 \frac{du}{2} 2 d u :
∫ cos ( u ) 2 d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du ∫ 2 c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2} ∫ cos ( u ) d u = 2 ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) 2 \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} 2 s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( 2 x ) 2 \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} 2 s i n ( 2 x )
Por lo tanto, el resultado es: − sin ( 2 x ) 4 - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} − 4 s i n ( 2 x )
El resultado es: x 2 − sin ( 2 x ) 4 \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} 2 x − 4 s i n ( 2 x )
Por lo tanto, el resultado es: − x 2 + sin ( 2 x ) 4 - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} − 2 x + 4 s i n ( 2 x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − sin ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin ( x ) cos ( x ) d x \int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − sin ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin ( x ) cos ( x ) d x
que u = cos ( x ) u = \cos{\left(x \right)} u = cos ( x ) .
Luego que d u = − sin ( x ) d x du = - \sin{\left(x \right)} dx d u = − sin ( x ) d x y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − u ) d u \int \left(- u\right)\, du ∫ ( − u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ u d u = − ∫ u d u \int u\, du = - \int u\, du ∫ u d u = − ∫ u d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u d u = u 2 2 \int u\, du = \frac{u^{2}}{2} ∫ u d u = 2 u 2
Por lo tanto, el resultado es: − u 2 2 - \frac{u^{2}}{2} − 2 u 2
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos 2 ( x ) 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} − 2 c o s 2 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: cos 2 ( x ) 2 \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} 2 c o s 2 ( x )
El resultado es: − x 2 + sin ( 2 x ) 4 + cos 2 ( x ) 2 - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} − 2 x + 4 s i n ( 2 x ) + 2 c o s 2 ( x )
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
− 1 2 sin ( x ) 2 ( sin ( x ) 2 + cos ( x ) 2 ) = − sin 2 ( x ) − sin ( x ) cos ( x ) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} − 2 1 sin ( x ) 2 ( 2 s i n ( x ) + 2 c o s ( x ) ) = − sin 2 ( x ) − sin ( x ) cos ( x )
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − sin 2 ( x ) ) d x = − ∫ sin 2 ( x ) d x \int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − sin 2 ( x ) ) d x = − ∫ sin 2 ( x ) d x
Vuelva a escribir el integrando:
sin 2 ( x ) = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} sin 2 ( x ) = 2 1 − 2 c o s ( 2 x )
Integramos término a término:
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 1 2 d x = x 2 \int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2} ∫ 2 1 d x = 2 x
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − cos ( 2 x ) 2 ) d x = − ∫ cos ( 2 x ) d x 2 \int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2} ∫ ( − 2 c o s ( 2 x ) ) d x = − 2 ∫ c o s ( 2 x ) d x
que u = 2 x u = 2 x u = 2 x .
Luego que d u = 2 d x du = 2 dx d u = 2 d x y ponemos d u 2 \frac{du}{2} 2 d u :
∫ cos ( u ) 2 d u \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du ∫ 2 c o s ( u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ cos ( u ) d u = ∫ cos ( u ) d u 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2} ∫ cos ( u ) d u = 2 ∫ c o s ( u ) d u
La integral del coseno es seno:
∫ cos ( u ) d u = sin ( u ) \int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)} ∫ cos ( u ) d u = sin ( u )
Por lo tanto, el resultado es: sin ( u ) 2 \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} 2 s i n ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
sin ( 2 x ) 2 \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} 2 s i n ( 2 x )
Por lo tanto, el resultado es: − sin ( 2 x ) 4 - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} − 4 s i n ( 2 x )
El resultado es: x 2 − sin ( 2 x ) 4 \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} 2 x − 4 s i n ( 2 x )
Por lo tanto, el resultado es: − x 2 + sin ( 2 x ) 4 - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} − 2 x + 4 s i n ( 2 x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − sin ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin ( x ) cos ( x ) d x \int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − sin ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin ( x ) cos ( x ) d x
que u = cos ( x ) u = \cos{\left(x \right)} u = cos ( x ) .
Luego que d u = − sin ( x ) d x du = - \sin{\left(x \right)} dx d u = − sin ( x ) d x y ponemos − d u - du − d u :
∫ ( − u ) d u \int \left(- u\right)\, du ∫ ( − u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ u d u = − ∫ u d u \int u\, du = - \int u\, du ∫ u d u = − ∫ u d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u d u = u 2 2 \int u\, du = \frac{u^{2}}{2} ∫ u d u = 2 u 2
Por lo tanto, el resultado es: − u 2 2 - \frac{u^{2}}{2} − 2 u 2
Si ahora sustituir u u u más en:
− cos 2 ( x ) 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} − 2 c o s 2 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: cos 2 ( x ) 2 \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} 2 c o s 2 ( x )
El resultado es: − x 2 + sin ( 2 x ) 4 + cos 2 ( x ) 2 - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} − 2 x + 4 s i n ( 2 x ) + 2 c o s 2 ( x )
Ahora simplificar:
− x 2 + 2 sin ( 2 x + π 4 ) 4 + 1 4 - \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4} − 2 x + 4 2 s i n ( 2 x + 4 π ) + 4 1
Añadimos la constante de integración:
− x 2 + 2 sin ( 2 x + π 4 ) 4 + 1 4 + c o n s t a n t - \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}+ \mathrm{constant} − 2 x + 4 2 s i n ( 2 x + 4 π ) + 4 1 + constant
Respuesta:
− x 2 + 2 sin ( 2 x + π 4 ) 4 + 1 4 + c o n s t a n t - \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}+ \mathrm{constant} − 2 x + 4 2 s i n ( 2 x + 4 π ) + 4 1 + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 2
| /cos(x) sin(x)\ -1 cos (x) x sin(2*x)
| 2*|------ + ------|*-----*sin(x) dx = C + ------- - - + --------
| | ___ ___ | ___ 2 2 4
| \\/ 2 \/ 2 / \/ 2
|
/
∫ − 1 2 sin ( x ) 2 ( sin ( x ) 2 + cos ( x ) 2 ) d x = C − x 2 + sin ( 2 x ) 4 + cos 2 ( x ) 2 \int - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right)\, dx = C - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} ∫ − 2 1 sin ( x ) 2 ( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) d x = C − 2 x + 4 sin ( 2 x ) + 2 cos 2 ( x )
Gráfica
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 5 -5
/ ___ \
___ | \/ 2 ___|
\/ 2 *|- ----- + pi*\/ 2 |
1 \ 2 /
- - - --------------------------
2 2
− 2 ( − 2 2 + 2 π ) 2 − 1 2 - \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi\right)}{2} - \frac{1}{2} − 2 2 ( − 2 2 + 2 π ) − 2 1
=
/ ___ \
___ | \/ 2 ___|
\/ 2 *|- ----- + pi*\/ 2 |
1 \ 2 /
- - - --------------------------
2 2
− 2 ( − 2 2 + 2 π ) 2 − 1 2 - \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi\right)}{2} - \frac{1}{2} − 2 2 ( − 2 2 + 2 π ) − 2 1
-1/2 - sqrt(2)*(-sqrt(2)/2 + pi*sqrt(2))/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.