Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de 2*(1/sqrt(2)*cos(x)+1/sqrt(2)*sin(x))*(-1/sqrt(2)*sin(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 2*pi                                   
   /                                    
  |                                     
  |    /cos(x)   sin(x)\  -1            
  |  2*|------ + ------|*-----*sin(x) dx
  |    |  ___      ___ |   ___          
  |    \\/ 2     \/ 2  / \/ 2           
  |                                     
 /                                      
 0                                      
02π12sin(x)2(sin(x)2+cos(x)2)dx\int\limits_{0}^{2 \pi} - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right)\, dx
Integral((2*(cos(x)/sqrt(2) + sin(x)/sqrt(2)))*((-1/sqrt(2))*sin(x)), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12sin(x)2(sin(x)2+cos(x)2)=sin2(x)sin(x)cos(x)- \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin2(x))dx=sin2(x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2+sin(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin(x)cos(x))dx=sin(x)cos(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

          (u)du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: x2+sin(2x)4+cos2(x)2- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12sin(x)2(sin(x)2+cos(x)2)=sin2(x)sin(x)cos(x)- \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin2(x))dx=sin2(x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2+sin(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin(x)cos(x))dx=sin(x)cos(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

          (u)du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: x2+sin(2x)4+cos2(x)2- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x2+2sin(2x+π4)4+14- \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2+2sin(2x+π4)4+14+constant- \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2+2sin(2x+π4)4+14+constant- \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                
 |                                              2                  
 |   /cos(x)   sin(x)\  -1                   cos (x)   x   sin(2*x)
 | 2*|------ + ------|*-----*sin(x) dx = C + ------- - - + --------
 |   |  ___      ___ |   ___                    2      2      4    
 |   \\/ 2     \/ 2  / \/ 2                                        
 |                                                                 
/                                                                  
12sin(x)2(sin(x)2+cos(x)2)dx=Cx2+sin(2x)4+cos2(x)2\int - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{\left(x \right)} 2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}\right)\, dx = C - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.05-5
Respuesta [src]
            /    ___           \
        ___ |  \/ 2         ___|
      \/ 2 *|- ----- + pi*\/ 2 |
  1         \    2             /
- - - --------------------------
  2               2             
2(22+2π)212- \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi\right)}{2} - \frac{1}{2}
=
=
            /    ___           \
        ___ |  \/ 2         ___|
      \/ 2 *|- ----- + pi*\/ 2 |
  1         \    2             /
- - - --------------------------
  2               2             
2(22+2π)212- \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi\right)}{2} - \frac{1}{2}
-1/2 - sqrt(2)*(-sqrt(2)/2 + pi*sqrt(2))/2
Respuesta numérica [src]
-3.14159265358979
-3.14159265358979

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.