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Resolución de integrales/ sin(x+pi/3)/ cos(x-pi/3)/ sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3)

Integral de sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
  /                           
 |                            
 |     /    pi\    /    pi\   
 |  sin|x + --|*cos|x - --| dx
 |     \    3 /    \    3 /   
 |                            
/                             
0
∫0πsin⁡(x+π3)cos⁡(x−π3) dx\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx 
Integral(sin(x + pi/3)*cos(x - pi/3), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+π3)cos⁡(x−π3)=sin⁡(x+π6)sin⁡(x+π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+π6)sin⁡(x+π3)=3sin⁡2(x)4+sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)4\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡2(x)4 dx=3∫sin⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(x)4 dx=3∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2+sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      El resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4+3(x2+sin⁡(2x)4)4−cos⁡2(x)2\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+π3)cos⁡(x−π3)=sin⁡(x+π6)sin⁡(x+π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+π6)sin⁡(x+π3)=3sin⁡2(x)4+sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)4\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡2(x)4 dx=3∫sin⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(x)4 dx=3∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2+sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      El resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4+3(x2+sin⁡(2x)4)4−cos⁡2(x)2\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x+π3)cos⁡(x−π3)=3sin⁡2(x)4+sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)4\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡2(x)4 dx=3∫sin⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(x)4 dx=3∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2+sin⁡(2x)4)4\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}

      El resultado es: 3(x2−sin⁡(2x)4)4+3(x2+sin⁡(2x)4)4−cos⁡2(x)2\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    3x4−cos⁡2(x)2\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x4−cos⁡2(x)2+constant\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x4−cos⁡2(x)2+constant\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             ___ /x   sin(2*x)\     ___ /x   sin(2*x)\
 |                                     2      \/ 3 *|- - --------|   \/ 3 *|- + --------|
 |    /    pi\    /    pi\          cos (x)         \2      4    /         \2      4    /
 | sin|x + --|*cos|x - --| dx = C - ------- + -------------------- + --------------------
 |    \    3 /    \    3 /             2               4                      4          
 |                                                                                       
/
∫sin⁡(x+π3)cos⁡(x−π3) dx=C+3(x2−sin⁡(2x)4)4+3(x2+sin⁡(2x)4)4−cos⁡2(x)2\int \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx = C + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     ___
pi*\/ 3 
--------
   4
3π4\frac{\sqrt{3} \pi}{4} 
=
= 
     ___
pi*\/ 3 
--------
   4
3π4\frac{\sqrt{3} \pi}{4} 
pi*sqrt(3)/4
Respuesta numérica [src] 
1.36034952317566
1.36034952317566

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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