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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (-6+9*x^2)/x^2
Integral de 3*exp(-3*x)
Integral de (3x+1)dx
Integral de √(2+x^2)
Expresiones idénticas
sin(x+pi/ tres)*cos(x-pi/ tres)
seno de (x más número pi dividir por 3) multiplicar por coseno de (x menos número pi dividir por 3)
seno de (x más número pi dividir por tres) multiplicar por coseno de (x menos número pi dividir por tres)
sin(x+pi/3)cos(x-pi/3)
sinx+pi/3cosx-pi/3
sin(x+pi dividir por 3)*cos(x-pi dividir por 3)
sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3)dx
Expresiones semejantes
sin(x+pi/3)*cos(x+pi/3)
sin(x-pi/3)*cos(x-pi/3)
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)/(x^3+1)
sin(x)x^2
sin(x)/(sqrt(1-x^2))
sin(x)×sin(x)×sin(x)
sin(x)sin(x)cos(x)
Número Pi pi
pi/((1+9x^2)*arctg^2(3x))
Pi*Cos(5x)
pi^(2)/12-x^(2)/4
pi*(1-(x^2)/9)
pi((4y-2y^2)^2-(2y-y^2)^2)
Coseno cos
cos(x)*sin(x)
cos(x)/(sin(x)^2)
cos(x)/sin^7(x)
cos(x)/sin(x+1)^2
cos(x)/(sin(x)+1/2)^(2/3)
Número Pi pi
pi/((1+9x^2)*arctg^2(3x))
Pi*Cos(5x)
pi^(2)/12-x^(2)/4
pi*(1-(x^2)/9)
pi((4y-2y^2)^2-(2y-y^2)^2)

Resolución de integrales/ cos(x-pi/3)/ sin(x+pi/3)/ sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3)

Integral de sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                           
  /                           
 |                            
 |     /    pi\    /    pi\   
 |  sin|x + --|*cos|x - --| dx
 |     \    3 /    \    3 /   
 |                            
/                             
0

$$\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx$$

Integral(sin(x + pi/3)*cos(x - pi/3), (x, 0, pi))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4}$
  El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                             ___ /x   sin(2*x)\     ___ /x   sin(2*x)\
 |                                     2      \/ 3 *|- - --------|   \/ 3 *|- + --------|
 |    /    pi\    /    pi\          cos (x)         \2      4    /         \2      4    /
 | sin|x + --|*cos|x - --| dx = C - ------- + -------------------- + --------------------
 |    \    3 /    \    3 /             2               4                      4          
 |                                                                                       
/

$$\int \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx = C + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} + \frac{\sqrt{3} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

     ___
pi*\/ 3 
--------
   4

$$\frac{\sqrt{3} \pi}{4}$$

     ___
pi*\/ 3 
--------
   4

$$\frac{\sqrt{3} \pi}{4}$$

pi*sqrt(3)/4

Respuesta numérica [src]

1.36034952317566

1.36034952317566

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de sin(x+pi/3)*cos(x-pi/3) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3