Integral de dx/sqrt^3(x-8)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{x - 8}\right)^{9}} = \frac{1}{x^{4} \sqrt{x - 8} - 32 x^{3} \sqrt{x - 8} + 384 x^{2} \sqrt{x - 8} - 2048 x \sqrt{x - 8} + 4096 \sqrt{x - 8}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 8}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 8}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du = 2 \int \frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288} = \frac{1}{u^{8}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{7 \left(x - 8\right)^{\frac{7}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{x - 8}\right)^{9}} = \frac{1}{x^{4} \sqrt{x - 8} - 32 x^{3} \sqrt{x - 8} + 384 x^{2} \sqrt{x - 8} - 2048 x \sqrt{x - 8} + 4096 \sqrt{x - 8}}$

   2. que $u = \sqrt{x - 8}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 8}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du = 2 \int \frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{- 2048 u^{2} + \left(u^{2} + 8\right)^{4} - 32 \left(u^{2} + 8\right)^{3} + 384 \left(u^{2} + 8\right)^{2} - 12288} = \frac{1}{u^{8}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{7 \left(x - 8\right)^{\frac{7}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2}{7 \left(x - 8\right)^{\frac{7}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2}{7 \left(x - 8\right)^{\frac{7}{2}}}+ \mathrm{constant}$