Integral de exp(x)*xcos(y) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int x e^{x} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int x e^{x}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x - 1\right) e^{x} \cos{\left(y \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x - 1\right) e^{x} \cos{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x - 1\right) e^{x} \cos{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$